А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Ю Я #
C F G K L N P S T W Z

локально выпуклое пространство, у к-рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги теоремы Шварца о ядре (см. Ядерная билинейная форма). Основополагающие результаты теории Я. и. принадлежат А. Гротендику [1]. Употребительные в анализе функциональные пространства, как правило, являются банаховыми или Я. п. Важную роль играют Я. п. в спектральном анализе операторов в гильбертовых пространствах (построение оснащенных гильбертовых пространств, разложения по обобщенным собственным векторам и т. п.) (см. [2]). Я. п. тесно связаны с теорией меры на локально выпуклых пространствах (см. [3]). Удается охарактеризовать Я. п. в терминах инвариантов типа размерности (аппроксимативная размерность, диаметральная размерность и др.) (см. [2], [4], [5]). Одним из таких инвариантов является функциональная размерность, к-рая для многих пространств, состоящих из целых аналитич. ф-ций, совпадает с числом переменных, от к-рых зависят эти функции (см. [2]). По своим свойствам Я. п. приближаются к конечномерным пространствам. Каждое ограниченное множество в Я. п. предкомпактно. Если Я. п. полно (или хотя бы квазиполно, т. е. каждое замкнутое ограниченное множество является полным), то оно полурефлексивно (т. е. второе сопряженное к этому пространству совпадает с ним по запасу элементов) и каждое замкнутое ограниченное множество в нем является компактным. Если квазиполное Я. п. является бочечным пространством, то оно является и Монтеля пространством (в частности, рефлексивно); всякая слабо сходящаяся счетная последовательность в таком пространстве сходится и в исходной топологии. Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Каждое Я. п. обладает свойством аппроксимации: любой непрерывный линейный оператор в таком пространстве можно приблизить в операторной топологии предкомпактной сходимости операторами конечного ранга (т. е. непрерывными линейными операторами с конечномерными образами). Тем не менее существуют ядерные Фреше пространства, не обладающие свойством ограниченной аппроксимации: в таком пространстве тождественный оператор не является пределом счетной последовательности операторов конечного ранга в сильной или слабой операторной топологии [6]. Построены Я. п. Фреше без базиса Шаудера, причем такие пространства могут иметь сколь угодно малую диаметральную размерность, т. е. в нек-ром смысле могут быть сколь угодно близкими к конечномерным [7]. Для Я. п. построен и контрпример к проблеме инвариантного подпространства: в нек-ром ядерном пространстве Фреше указан непрерывный линейный оператор, не имеющий нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств [8]. Примеры Я. п. 1) Пусть - пространство всех (действительных или комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на наделенное топологией равномерной сходимости со всеми производными на компактных подмножествах в Сопряженное к пространство состоит из всех обобщённых функций с компактным носителем. Пусть и - линейные подпространства в состоящие соответственно из функций с компактным носителем и из функций, убывающих при вместе со всеми производными быстрее любой степени | х|-1. Сопряженные к и относительно стандартной топологии пространства и состоят соответственно из всех обобщенных функций и всех обобщенных функций медленного роста. Пространства наделенные сильными топологиями, являются полными рефлексивными Я. п. 2) Пусть - бесконечная матрица, причем п, р=1,2, .... Пространство таких последовательностей что для всех р, с топологией, задаваемой преднормами наз. пространством Кёте и обозначается Это пространство ядерно тогда и только тогда, когда для любого рнайдется такое q, что Свойства наследования. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение. Каждое подпространство (отделимое факторпространство) Я. п. ядерно. Прямая сумма, индуктивный предел счетного семейства Я. п., а также произведение, проективный предел любого семейства Я. п.- снова Я. п. Пусть Е - произвольное локально выпуклое пространство, Е' - сопряженное пространство к Е, наделенное сильной топологией. Если Е' - Я. п., то Еназ. дуально ядерным. Если Е - произвольное пространство, a F - Я. п., то пространство L(E, F )непрерывных линейных операторов из Ев Fявляется Я. п. относительно сильной операторной топологии (простой сходимости); если к тому же Еполурефлексивно и дуально ядерно, то L(E, F) ядерно и в топологии ограниченной сходимости. Метрические и дуально метрические Я. п. Локально выпуклое пространство Еназ. дуально метрическим или пространством типа если оно имеет счетную фундаментальную систему ограниченных множеств и каждое (сильно) ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств в Е' равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является дуально метрическим; обратное неверно. Если Е - пространство типа то Е' - пространство типа (пространство Фреше, т. е. полное и метризуемое). Примерами Я. п. типа являются пространства Кёте, а также соответственно - Я. п. типа Пространства и не являются ни метрическими, ни дуально метрическими. Метрические и дуально метрические Я. п. сепарабельны, а если они полны, то рефлексивны. Переход к сопряженному пространству устанавливает взаимно однозначное соответствие между Я. п. типа и полными Я. п. типа Если Е - полное Я. п. типа a F - Я. п. типа то пространство операторов L(E, F), наделенное топологией ограниченной сходимости, ядерно и дуально ядерно. Каждое Я. п. типа изоморфно подпространству пространства бесконечно дифференцируемых функций на прямой, т. е. - универсальное пространство для Я. п. типа (см. [10]). Пространство Фреше Еядерно тогда и только тогда, когда всякий безусловно сходящийся ряд в Есходится абсолютно (т. е. по любой непрерывной преднорме). Интенсивно изучаются пространства голоморфных функций на Я. и. типа и (см. [11]). Тензорные произведении Я. п. и пространства вектор-функций. Алгебраическое тензорное произведение локально выпуклых пространств Еи Fможно наделить проективной и слабой топологиями, превращающими в топологическое тензорное произведение. Проективная топология - это сильнейшая локально выпуклая топология, для к-рой каноническое билинейное отображение непрерывно. Слабая топология (или топология (би)равностепенно непрерывной сходимости) индуцируется при естественном вложении где -сопряженное пространство к Е, наделенное топологией Макки а - пространство непрерывных линейных отображений наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных множествах в К'. При этом вложении алемент переходит в оператор где < х, х'> - значение функционала на Пополнение в проективной (слабой) топологии обозначается (соответственно Для того чтобы Ебыло Я. п., необходимо и достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого пространства . проективная и слабая топологии в совпадали, т. е. Если F совпадает с пространством l1 суммируемых последовательностей, то Е - Я. п.; вместо l1 можно взять любое пространство с безусловным базисом (см. [12]). Тем не менее существует такое (неядерное) бесконечномерное сепарабельное банахово пространство X, что (см. [13]). Если Еи F- полные пространства и F - Я. и., то вложение продолжается до изоморфизма между Если Е - ненулевое Я. п., то ядерно тогда и только тогда, когда Fядерно. Если Еи F - оба пространства типа (или и Е - ядерно, то - пространство типа (соответственно и Пусть Е- полное Я. п., состоящее из скалярных функций (не всех) на нек-ром множестве Т, причем . является индуктивным пределом (локально выпуклой оболочкой) счетной последовательности пространств типа и топология в Е не слабее топологии поточечной сходимости функций на Т. Тогда для любого полного пространства Fможно отождествить с пространством всех таких отображений (вектор-функций) что скалярные функции принадлежат Едля всех В частности, совпадает с пространством всех бесконечно дифференцируемых вектор-функций на со значениями в F, а Структура Я. п. Пусть U - выпуклая закругленная окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Е, а р - соответствующий Uфункционал Минковского (непрерывная преднорма), Е U - факторпространство Е/р-1(0) с нормой, индуцированной проднормой - пополнение нормированного пространства Е U. Определено непрерывное каноническое линейное отображение если окрестность Uсодержит окрестность F, то канонически определяется непрерывное линейное отображение Для локально выпуклого пространства . следующие условия эквивалентны: 1) Еявляется Я. п.; 2) в . существует такой базис выпуклых закругленных окрестностей нуля, что для любой окрестности канонич. отображение является ядерным оператором; 3) отображение ядерно для любой выпуклой закругленной окрестности нуля Uв Е; 4) всякая выпуклая закругленная окрестность нуля Uв Есодержит другую такую окрестность нуля V, что ядерно канонич. отображение Пусть К - Я. и. Для любой окрестности нуля U в Еилюбого такого числа р, что существует выпуклая закругленная окрестность для к-рой EV (понорме) изоморфно подпространству в пространстве lp суммируемых со степенью рпоследовательностей. Таким образом, Есовпадает с локально выпуклым ядром (индуктивным пределом) семейства пространств, изоморфных lp. В частности (случай р=2) в любом Я. п. Есуществует такой базис окрестностей нуля что все пространства гильбертовы; таким образом, Е - мультигильбертово пространство, т. е. топология в Еможет быть порождена семейством преднорм, каждая из к-рых получается из нек-рой неотрицательно определенной эрмитовой формы на Любое полное Я. п. изоморфно проективному пределу семейства гильбертовых пространств. Пространство Етипа ядерно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде такого проективного предела счетного семейства гильбертовых пространств Н п. что gmn -ядерные операторы (или хотя бы Гильберта-Щмидта oператoры )при m<n. Базисы в Я. п. В Я. п. любой равностепенно непрерывный базис является абсолютным. В пространстве типа любой счетный базис (хотя бы слабый) является равностепенно непрерывным базисом Шаудера, так что в Я. п. типа всякий базис является абсолютным (в частности, безусловным). Аналогичный результат справедлив для полных Я. п. типа и всех Я. п., для к-рых имеет место теорема о замкнутом графике. Факторпространство Я. п. типа с базисом не обязано иметь базис (см. [4], [5], [6]). Пусть Е- Я. п. тина Топологию в Еможно задать счетной системой преднорм , р=1, 2, .. ., причем для всех Если в Есуществует базис или непрерывная норма, то преднормы можно считать нормами. Пусть - базис в Е;тогда любой элемент разлагается в сходящийся (абсолютно и безусловно) ряд где координаты имеют вид а функционалы образуют биортогональный базис в Е'. Пространство Еизоморфно пространству Кётe где при этом изоморфизме элемент переходит в последовательность своих координат Базис в Еэквивалентен базису ,т. е. получается из него под действием изоморфизма тогда и только тогда, когда пространства Кёте и совпадают как множества [4]. Базис наз. регулярным (пли правильным), если существует система норм и перестановка индексов такие, что монотонно убывает при всех Если Я. п. Етипа имеет регулярный базис, то любые два базиса в Еквазиэквивалентны (т.

Пространство Ср. — 1. Одна из форм - наряду со временем - существования бесконечно развивающейся материи, характеризующаяся протяженностью и объемом. 2. Неограниченная видимыми пределами........
Толковый словарь Ефремовой

Большое Пространство — - (Grossraum) термин Шмитта. Объединение нескольких держав в единое стратегическое образование. Возникновение Больших Пространств обусловлено теорией "пространственной прогрессии".
Политический словарь

Жизненное Пространство — - термин Хаусхофера. Минимальный территориальный объем, позволяющий народу достичь реализации своих исторических и политических стремлений.
Политический словарь

Мировое Геополитическое Пространство — - государственные территории всех стран мира вместе с международными проливами, открытым морем и Антарктидой. Это пространство, в свою очередь, подразделяют на геостратегические........
Политический словарь

Пространство — - основное понятие геополитики. Является не количественной, но качественной категори ей. Структура пространства предопределяет структуру истории (в первую очередь,........
Политический словарь

Пространство Политическое — - рефлексивное, синтетическое определение политической организации общества. Политическое пространство как категория позволяет зафиксировать единство содержания........
Политический словарь

Европейское Экономическое Пространство — - новое расширенное экономическое
объединение в Западной Европе,
соглашение о создании которого было
одобрено представителями 19 стран, входящих в ЕС и ЕАСТ,........
Экономический словарь

Единое Образовательное Пространство — - 1. целостная, преемственная, гуманистическая педагогическая
система, функционирующая в
границах территориального деления (области,
региона); 2.
механизм........
Экономический словарь

Единое Экономическое Пространство — См. Пространство единое экономическое
Экономический словарь

Единое Экономическое Пространство (еэп) — экономическая зона, образованная несколькими объединившимися в экономический союз государствами. В пределах этой зоны достигается высокая степень единства и согласованность........
Экономический словарь

Космическое Пространство — - пространство за пределами воздушной сферы Земли, правовой режим которого определяется международным космическим
правом. Общепризнанного международно-правового........
Экономический словарь

Морское Ядерное Судно — - морское
судно, оборудованное ядерной энергетической установкой и относящееся к объектам с повышенной
опасностью для окружающих. В силу этого к таким судам........
Экономический словарь

Образовательное Пространство — -
понятие, являющееся важной характеристикой образовательного
процесса и отражающее основные этапы и закономерности развития образования как фундаментальной........
Экономический словарь

Открытое Воздушное Пространство — - международное пространство (см. т.ж.
МЕЖДУНАРОДНАЯ ТЕРРИТОРИЯ), находящееся за пределами
действия государственного
суверенитета над открытым морем Антарктикой.........
Экономический словарь

Пространство — -а; ср.
1. Филос. Одна из основных форм существования материи, характеризующаяся протяжённостью и объёмом. Движение материи в пространстве и во времени.
2. Неограниченная........
Толковый словарь Кузнецова

Права На Воздушное Пространство (air Rights) — право использовать, контролировать и занимать воздушное пространство или его
часть над конкретным участком земли.
Экономический словарь

Пространство Единое Таможенное — территория нескольких государств, на которой действует единое таможенное законодательство и проводится единая согласованная таможенная политика.
Экономический словарь

Воздушное Пространство — - пространство (столб воздуха), расположенное над сухопутной и водной территорией государства. Верхней границей В.п. является его соприкосновение с космическим пространством.........
Юридический словарь

Воздушное Пространство Российской Федерации — Под воздушным пространством Российской Федерации понимается воздушное пространство над территорией Российской Федерации, в том числе воздушное пространство над........
Юридический словарь

Европейское Экономическое Пространство — - новое расширенное экономическое объединение в Западной Европе, соглашение о создании которого было одобрено представителями 19 стран, входящих в ЕС и ЕАСТ, 22 октября........
Юридический словарь

Единое Правовое Пространство Российской Федерации — - очерченное границами государства пространство, характеризующееся единством правового регулирования социально-политических, хозяйственных и финансовых отношений........
Юридический словарь

Единое Экономическое Пространство (еэп) — - экономическая зона, образованная несколькими объединившимися в экономический союз государствами. В пределах этой зоны достигается высокая степень единства и согласованность........
Юридический словарь

Конституционно-правовое Пространство России — - пространство (территория), на которое распространяется действие федеральной Конституции. К.-п.п.Р. охватывает сферу отношений, в границах которой устанавливается и........
Юридический словарь

Космическое Пространство — - пространство за пределами воздушной сферы Земли, правовой режим которого определяется международным космическим правом. Общепризнанного международно-правового........
Юридический словарь

Морское Ядерное Судно — - морское судно, оборудованное ядерной энергетической установкой и относящееся к объектам с повышенной опасностью для окружающих. В силу этого к таким судам в дополнение........
Юридический словарь

Открытое (международное) Воздушное Пространство — - часть земной атмосферы, расположенная за внешним пределом территориального моря прибрежных государств и, следовательно, не входящая в состав территории, какой бы........
Юридический словарь

Открытое Воздушное Пространство — - часть земной атмосферы, расположенная за внешним пределом территориального моря прибрежных государств и, следовательно, не входящая в состав территории какой бы........
Юридический словарь

Ядерное Оружие — ядерные заряды, ядерные боеприпасы, а также оснащенные ими носители ядерных боеприпасов, комплексы ядерного оружия и носители ядерного оружия.
Юридический словарь

Ядерное Оружие [в Сфере Государственного Учета И Контроля Ядерных Материалов] — - ядерные заряды, ядерные боеприпасы, а также оснащенные ими носители ядерных боеприпасов, комплексы ядерного оружия и носители ядерного оружия. Концепция, одобренная........
Юридический словарь

Ядерное Топливо — "" означает любой материал, способный производить энергию путем самоподдерживающегося цепного процесса ядерного деления. ("Венская конвенция о гражданской ответственности........
Юридический словарь