числовая характеристика функции одного действительного-переменного, связанная с ее дифференциальными свойствами. 1) Пусть - функция действительного переменного х, заданная на отрезке ; ее вариация есть точная верхняя грань сумм вида где - произвольная система точек из . Это определение предложено К. Жорда-ном [1]. Если , то говорят, что функция имеет ограниченную (конечную) вариацию на отрезке , а класс всех таких функций обозначают через или просто через V. Функция принадлежит классу тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде где и - возрастающие (убывающие) на функции (Жордана разложение функции ограниченной вариации). Сумма, разность и произведение двух функций класса также есть функция класса . Это справедливо и для частного двух функций класса , если модуль знаменателя превосходит положительную постоянную на отрезке . Каждая функция класса ограничена и может иметь не более чем счетное множество точек разрыва, причем все они 1-го рода. Все эти свойства функций класса установлены К. Жорданом [1] (см. также [2], с. 234-38). Функции класса почти всюду дифференцируемы на и для них имеет место разложение где - абсолютно непрерывная, - сингулярная функция, а - функция скачков (Лебега разложение фуикции ограниченной вариации). Это разложение единственно, если (см. [3] и [2], с. 290). Первоначально класс был введен К. Жорданом в связи с обобщением Дирихле признака сходимости рядов Фурье кусочно монотонных функций. К. Жор-дан доказал, что ряды Фурье -периодич. функций класса сходятся в каждой точке действительной оси. Однако в дальнейшем функции ограниченной вариации нашли широкое применение в различных областях математики, особенно в теории интеграла Стилтьеса. Иногда рассматриваются классы , к-рые определяются следующим образом. Пусть положительная при монотонно возрастающая непрерывная функция. Обозначим через точную верхнюю грань сумм вида где - произвольное разбиение отрезка . Величина наз. Ф-вариацией функции на отрезке . Если то говорят, что функция имеет ограниченную Ф - вариацию на отрезке , а класс всех таких функций обозначается через или просто через (см. (4], с. 287). При получается класс К. Жордана, а при - классы Vp Н. Винера [5]. Определение класса V Ф[a, b] предложено Л. Юнг [6]. Если то В частности, при причем эти вложения строгие. Лит.: [1] Jоrdan С., "С. r. Acad. sci.", 1881, t. 92, № 5, p. 228-30; [2] Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; [З] Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, (пер. с франц.), М.- Л., 1934; [4] Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; [5] Wiеner N., "Massachusetts J. Math, and Phys.", 1924, v. 3, p. 72-94; Г6] Young L. С., "C. r. Acad. sci.", 1937, t. 204, № 7, p. 470 - 72. Б. И. Голубое.
2) Для функции нескольких переменных имеются различные определения вариаций ( Арцела вариация, Витали вариация, Пьерпонта вариация, Тонелли плоская вариация, Фреше вариация, Хардп вариация). Очень плодотворным оказалось также следующее определение (см. [1]), основанное на использовании Банаха индикатрисы,. Пусть действительнозначная функция задана и измерима по Лебегу на n-мерном кубе . Вариацией порядка функции на кубе наз. число где обозначает -ю вариацию множества , а интеграл понимается в смысле Лебега. Ото определение позволяет перенести на функции нескольких переменных многие свойства функций ограниченной вариации одного переменного. Напр.: б) Если последовательность функций сходится к равномерно на , то в) Если функция непрерывна на и все ее вариации конечны, то почти всюду имеет полный дифференциал. г) Если функция абсолютно непрерывна на , то д) Если функция непрерывна на кубе со стороной , имеет конечные вариации всех порядков на кубе и может быть периодически продолжена с периодом по каждому аргументу на все н-мерное пространство, то ее ряд Фурье равномерно сходится к ней на по Прингсхейму. Достаточные условия конечности вариаций: если функция имеет на кубе непрерывные производные всех порядков до -го включительно, то ее вариация порядка kконечна. Эта теорема является окончательной в том смысле, что условия на гладкость не улучшаема ни прп одном k. Лит.:[1] Витушкин А. Г., О многомерных вариациях, М., 1955 А. Г. Витушкин.
Вариация — и варьяция, вариации, ж. (латин. variatio - перемена). 1. чаще мн. Видоизменение, изменение отдельных деталей, частностей в чем-н. (книжн.). Этот рассказ имеет в передаче разных........
Толковый словарь Ушакова
Вариация Ж. — 1. Видоизменение элементов, частей чего-л. при сохранении основного содержания, замысла и т.п.; вариант. 2. Совокупность особей определенного вида, отличающихся одним........
Толковый словарь Ефремовой
Функции Политологии — - 1) гносеологическая, познавательная функция, суть которой состоит в наиболее полном и конкретном познании политической реальности, раскрытии присущих ей объективных........
Политический словарь
Агентские Функции Банков — выполнение
банком поручений физических и юридических лиц по распоряжению их
имуществом, при котором
право собственности не переходит к
банку, а остается у владельца.
Экономический словарь
Вариация — различия количественной величины одного и того же параметра у разных объектов страхования, входящих в страховую группу. Например, работники одной фирмыотличаются........
Экономический словарь
Вариация Товара — -
модификация
товара, который уже производится и находится на рынке, путем изменения его отдельных свойств или показателей качества. Могут быть изменены физические........
Экономический словарь
Внешние Функции Государства — - основные направления деятельности государства на международной арене. К их числу относятся: оборонная функция - направлена на защиту государственного
суверенитета,........
Экономический словарь
Внутренние Функции Государства — - основные направления деятельности государства по управлению внутренней жизнью общества. В соответствии со сферами деятельности государства внутренние функции подразделяются........
Экономический словарь
Маркетинга Функции — совокупность видов маркетинговой деятельности предприятия.
Экономический словарь
Непрерывные Функции Управления — - функции, выполнение которых осуществляется постоянно в течение всего
периода управления
предприятием
Экономический словарь
Общие Функции Менеджмента — - функции, образующие управленческий
цикл и отражающие специфику управленческого
труда вне зависимости от характера и специфики деятельности
организации
Экономический словарь
Основные Функции Таможенных Органов Рф — - 1)
участие в разработке таможенной политики РФ и
реализация этой политики; 2)
обеспечение соблюдения законодательства,
контроль за
исполнением которого........
Экономический словарь
Последовательные Функции Управления — - функции, которые осуществляются дискретно (т. е. повторяются через определенные промежутки времени), последовательно сменяя друг друга
Экономический словарь
Связи С Общественностью, Представительские Функции В Области Финансов — Вид представительских функций, связанных с исполнением обязанностей по предоставлению информации о корпорациях, поддержке взаимоотношений с акционерами и профессиональными........
Экономический словарь
Смешанные Функции Управления — - управленческие функции, сочетающие в себе
элементы общих и специальных функций
менеджмента
Экономический словарь
Социальное Назначение Государства И Его Функции — - социальное назначение и
сущность государства находят наиболее полное выражение в его функциях. Под функциями государства понимаются главные направления его........
Экономический словарь
Специальные Функции Управления — - функции, состав которых определяется спецификой деятельности управляемого
объекта
Экономический словарь
Функции Государства — - подразделяются на внутренние, т.е. осуществляемые в пределах территории данного государства, и внешние, осуществляемые за пределами его территории. По продолжительности........
Экономический словарь
Функции Консульского Представительства — - состоят, как правило, в следующем:
защита в государстве пребывания интересов представляемого государства, его юридических лиц и граждан; содействие развитию торговли,........
Экономический словарь
Функции Маркетинга — - основные
действия, с
помощью которых достигаются поставленные
цели
маркетинга. К ним относятся:
изучение рынка,
разработка товара, ценовая
........
Экономический словарь
Функции Налогов — - фискальная - главная, основная. Формирует финансовые средства государственного денежного
фонда (
фиск от лат. fiscus); - регулирующая - главный
инструмент экономической........
Экономический словарь
Функции Управления — назначение и виды управленческой деятельности.
Управление включает такие функции, как
анализ,
планирование, организацию,
контроль и
регулирование........
Экономический словарь
Функции Экономической Теории — - познавательная, методологическая, образовательная, практическая.
Экономический словарь
Functions Of Money (функции Денег) — В экономике деньги выполняют функции средства обращения (medium of exchange), единицы учета (unit of account), средства накопления стоимости (store ofvalue), В хозяйстве, основанном на натуральном........
Экономический словарь
Вариация — Заимствовано из польского, восходит к латинскому (см. ).
Этимологический словарь Крылова
Агентские Функции Банков — - выполнение банком поручений физических и юридических лиц по распоряжению их имуществом, при котором право собственности не переходит к банку, а остается у владельца.
Юридический словарь
Вариация (remix) — - Переработка музыкального произведения, при которой осуществляется творческое воздействие на его гармонию, мелодический строй путем изменения ритма, такта, тональности,........
Юридический словарь
Внешние Функции Государства — - основные направления деятельности государства на международной арене. К их числу относятся: оборонная функция - направлена на защиту государственного суверенитета,........
Юридический словарь
Внутренние Функции Государства — - основные направления деятельности государства по управлению внутренней жизнью общества. В соответствии со сферами деятельности государства внутренние функции подразделяются........
Юридический словарь
Дела О Восстановлении На Работе Лица, Выполнявшего Воспитательные Функции, Уволенного В Связи С Сове — По делам о восстановлении на работе лиц, выполняющих воспитательные функции, уволенных в связи с совершением аморального проступка, несовместимого с продолжением........
Юридический словарь
Slovariki 2.0. Знание - сила