раздел математики, в к-ром применяются топологич. понятия н методы для качественного исследования вариационных задач - существование и оценка числа экстремалей, выяснение нек-рых качественных свойств последних н соотношений между числом экстремалей различных типов. Часто в состав В. и. в ц. включают также теорию "в целом" стационарных (критических) точек функций на многообразиях, где для этих точек рассматриваются такие же задачи. (Во всяком случае, эта последняя теория тесно связана с В. и. в ц. и возникла вместе с ним, а относящиеся к ней задачи часто служат упрощенной моделью собственно вариационных задач. Иногда последние даже изучают с помощью некрой аппроксимации их первыми.) При этом интересуются всеми экстремалями (стационарными точками), существующими для данной задачи, независимо от того, отвечает ли им действительно экстремальное (т. е. минимальное или максимальное) значение рассматриваемого функционала (функции) или же это последнее является только стационарным. В этом одно из отличий В. и. в ц. от возникших ранее "классических" разделов вариационного исчисления, где после сравнительно простого вывода условии стационарности, общих для всех экстремалей, основное внимание уделялось экстремуму (хотя бы локальному), обычно минимуму. Кроме того, значительная часть "классических" разделов связана с исследованием малой окрестности экстремали, тогда как в В. и. в ц. используются топологич. свойства всего функционального пространства вариационной задачи, т. е. всего пространства кривых (функций, поверхностей н т. п.), где задан рассматриваемый функционал (или всего многообразия, где задана рассматриваемая функция).Эти свойства, в свою очередь, связываются с топологией того пространства (области, многообразия и т. д.), где должны лежать эти кривые (поверхности) или где должны быть определены и (пли) принимать значение эти функции (а также с характером краевых или еще каких-либо дополнительных условий). Такой "глобальный" характер свойственного В. и. в ц. подхода и подчеркивается в его названии определением "в целом". (В ходе развития В. и. в ц. оказалось необходимым подробнее исследовать свойства второй вариации[1], имеющей чисто локальный характер. Раньше эти свойства исследовались лишь в той мере, в какой это было нужно для применений к условиям минимума функционала.) В. и. в ц. сложилось в 20-30-х гг. 20 в. в работах, посвященных решению задачи об оценке числа замкнутых геодезических на замкнутом римановом (более общо, финслеровом) многообразии (называемой также н е-пер и одической задачей В. и. в ц.) (см. [1]. [2]. [4]). Общий прием исследования, свойственный для В. и. в ц., состоит в том, что для функции (в том числе и для функционала, рассматриваемого как функция на соответствующем бесконечномерном функциональном пространстве) следят за изменением тех или иных топологич. свойств области меньших значений с изменением уровня функции С. Стремятся доказать, что эти свойства изменяются только при прохождении Счерез стационарные значения (отвечающие стационарным точкам функции), и описать, как связаны изменения, происходящие при таких прохождениях, со свойствами соответствующих стационарных точек. Получаются нек-рые связи между стационарными точками , с одной стороны, и топологич. свойствами области меньших значений с достаточно большими Сили даже всего пространства, где задана ,- с другой. Если эти последние свойства известны, то из установленных связей делают определенные заключения о стационарных точках. Для собственно вариационных задач остается еще один шаг (иногда тривиальный, иногда очень трудный): полученные результаты, относящиеся к вспомогательным объектам (точки нек-рого функционального пространства), нужно интерпретировать в терминах первоначальной постановки задачи. (В задаче о замкнутых геодезических именно этот последний шаг вызывает основные затруднения.) Описанную программу сравнительно легко удается осуществить для гладкой функции на замкнутом многообразии М. При сравнении областей меньших значений с различными Собычно используется градиентный спуск, т. е. движение точек согласно градиентной динамической системе, определяемой f и какой-нибудь вспомогательной римановой метрикой на М. Отдельно рассматривается ситуация возле стационарных точек. Если все они невырожденные, то изменение области меньших значений при прохождении Счерез стационарный уровень можно описать очень подробно - с точностью до диффеоморфизма. Такое описание, как и аналогичное описание изменений многообразий уровня , оказалось важным для топологии (см. [5], [6]), тогда как для В. и. в ц. пока оказывается достаточной менее-полная информация в терминах нек-рого числового инварианта - категории Люстерника - Шнирельмана и в терминах гомологии. Последняя приводит к Морса неравенствам, дающим обычно значительно лучшую оценку числа невырожденных критич. точек, чем категория. В то же время и оценка через категорию, и неравенства Морса годятся также без предположения о вевырожденности стационарных точек, хотя из неравенств Морса при этом следует оценка, в к-рой вырожденные стационарные точки считаются со спецпально приписываемыми им кратностямп (в связи с чем говорят об оценке числа аналитически различных стационарных точек или алгебраического числа этих точек). Категория же дает оценку числа стационарных точек в обычном смысле (подчеркивая это обстоятельство, говорят об оценке числа геометрически различных стационарных точек) и даже с нек-рой дополнительной информацией: либо число стационарных уровней не меньше , либо имеется континуум стационарных точек.
Чтобы получить аналогичные результаты для функций на бесконечномерных многообразиях, необходимы определенные дополнительные предположения об аналитич. свойствах этих функций (кроме гладкости). Наиболее полная аналогия с конечномерным случаем достигается при использовании так наз. условия (С) Пале - Смейлa (R. Palais - S. Smale, см. [7]), но оно не выполняется в нек-рых интересных случаях, а при выполнении более слабых условий соответствующие результаты тоже могут быть слабее. Затруднения может вызвать исследование траекторий градиентного спуска или какого-нибудь его аналога. Напр., для нек-рых задач геометрич. происхождения - минимальные замкнутые подмногообразия риманова многообразия, гармонические отображения - этот вопрос сводится к поведению решений параболич. систем нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными (см. [8]). Иногда удовлетворительные результаты удается получить только для точек минимума. Основные применения - собственные значения нелинейных операторов (см. [7], [8], [9]) и многомерные задачи вариационного исчисления (т. е. такие, в к-рых рассматриваемый функционал выражается в виде некоторого кратного интеграла), в том числе упомянутые выше задачи геометрич. происхождения. Для одномерных задач (т. е. тех, в к-рых рассматриваемый функционал выражается в виде интеграла по одной независимой переменной) вместо градиентного спуска можно использовать специфические для них более элементарные приемы [фактически с их помощью и были получены многие имеющиеся здесь результаты (см. [1], [2], [3])]. Одномерными являются задача о замкнутых геодезических и задача об оценке числа геодезич. дуг, соединяющих две точки на связном полном римановом многообразии М. Последняя полностью решена: если M не стягивается по себе в точку, то таких дуг бесконечное число (см. [10]). (На примере обычной сферы видно, что одни из этих дуг могут включать в себя многократно проходимые другие дуги.) По-видимому, первым применением В. и. в ц. в других областях математики было вычисление гомологии классич. групп Ли (см. [11]). Важнейшим из современных применений, наряду с упомянутым выше использованием теории стационарных точек функций в топологии, является вычисление стационарных гомотопич. групп Ли (так наз. теория Ботта; см. [12]). В. и. в ц. используется также в глобальной дифференциальной геометрии (см. [13]). Лит.-[1] Мorse М., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Люстерник Л. А., Шнирельман Л. Г., "Успехи матем. наук", 1947, т. 2, в. 1, с. 166-217; [3] 3ейферт Г., Трельфалль В., , пер. с нем., М., 1947; [4] Birkhoff G D "Trans. Amer. Math. Soe.", 1917, v. 18, p. 199-300; [5] Милнор Д ж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс, пер. с англ., М., 1972; [6] Милнор Д ж., Теорема об h-кобордизме, пер. с англ., М., 1969; [7] Иллс Д ж., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, № 3, с. 157-210; [8] Альбер С. И., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, в. 4, с. 57-122; [9] Бергер М. С., Теория бифуркаций в случае нелинейных эллиптических дифференциальных уравнений и систем, в сб.: Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения, М., 1974; [10] Серр Ж. П., Сингулярные гомологии расслоенных пространств, пер. с франц., в сб.: Расслоенные пространства и их приложения, М., 1958; [11] Понтрягин Л. С., "Матем. сб.", 1939, т. 6, № 3, с. 389-422; "Успехи матем. наук", 1968Д т. 23, в. 6, с. 151-85; [12] Милнор Д ж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965; [13] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1.971. Д. В. Аносов.
Исчисление — исчисления, ср. (книжн.). 1. Действие по глаг. исчислить-исчислять. убытков. 2. Название отделов высшей математики (мат.). Диференциальное исчисление. Интегральное исчисление.........
Толковый словарь Ушакова
В Целом Нареч. — 1. Во всей совокупности; полностью, целиком. 2. перен. Не касаясь частностей, деталей; вообще.
Толковый словарь Ефремовой
Исчисление Ср. — 1. Процесс действия по знач. глаг.: исчислять (1), исчислить; подсчет, вычисление. 2. устар. Процесс действия по знач. глаг.: исчислять (2), исчислить; перечисление.
Толковый словарь Ефремовой
Анализ Опасностей, Сопряженных С Риском, В Целом — В управлении риском: идентификация наиболее серьезных рисков, которым подвержена деятельность организации. Анализ заключается в тщательном изучении всех операций,........
Экономический словарь
Благоприятный Поворот В Деятельности Компании, На Рынке Или В Экономике В Целом — Инвесторы, вкладывающие средства на фондовом рынке, считают, что компания, показывающая невысокие результаты, может значительно увеличить свои доходы и получить значительную........
Экономический словарь
Годовое Исчисление — - приведение тех или иных данных к периоду в 12 месяцев.
Экономический словарь
Исчисление Оплаты Отпуска — -
расчет оплаты
отпуска. Осуществляется на основе среднего дневного заработка. Средний дневной
заработок для оплаты отпусков и выплаты компенсаций за неиспользованные........
Экономический словарь
Исчисление Среднего Заработка — -
расчет среднего заработка. Средний дневной
заработок определяется путем деления фактически выплаченных сумм в расчетном
периоде (три календарных месяца........
Экономический словарь
Премия В Целом (общая Сумма Премии) — В страховых
операциях: полная
сумма страховой премии, полученная страховщиком от держателя
полиса, включая все
расходы, оцененные
затраты по убыткам........
Экономический словарь
Стоимость Бизнеса В Целом — - стоимость всего имущественного комплекса функционирующего предприятия, включая нематериальные активы. Величина С.б.в ц. определяется, в первую очередь, размером его........
Экономический словарь
Техника Остатка Для Собственности В Целом (property Residual Technique) — разновидность доходного подхода, по которой текущая
стоимость собственности оценивается путем сложения текущей стоимости прогнозируемых доходов и текущей стоимости........
Экономический словарь
Исчисление Срока Годности Товара [при Осуществлении Купли-продажи] — Срок годности товара определяется периодом времени, исчисляемым со дня его изготовления, в течение которого товар пригоден к использованию, либо датой, до наступления........
Юридический словарь
Исчисление Сроков Наказаний — регламентировано в ст. 72 УК РФ, согласно которой: 1. Сроки лишения права занимать определенные должности или заниматься определенной деятельностью, исправительные работ,........
Юридический словарь
Исчисление Сроков Наказаний И Зачет Наказания — - для точного исчисления сроков наказаний ст. 72 УК предусмотрены специальные правила. Наказания, установленные на определенный срок, исчисляются в единицах времени.........
Юридический словарь
Дифференциальное Исчисление — , см. ИСЧИСЛЕНИЕ.
Научно-технический энциклопедический словарь
Интегральное Исчисление — , см. ИСЧИСЛЕНИЕ.
Научно-технический энциклопедический словарь
Исчисление — , область математики, включающая в себя методы ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ и ИНТЕГРИРОВАНИЯ. Дифференциальное исчисление имеет дело с дифференцированием, т.е. процессом нахождения........
Научно-технический энциклопедический словарь
Целом — , истинная (вторичная) полость тела, то есть пространство между внутренней пищеварительной трубкой и наружной стенкой тела, в которой могут разместиться дополнительные........
Научно-технический энциклопедический словарь
Вариационное Исчисление — раздел математики, посвященный нахождениюнаибольших и наименьших значений переменных величин, зависящих от выбораодной или нескольких функций (такие величины называются........
Большой энциклопедический словарь
Векторное Исчисление — раздел математики, в котором изучаются операции надвекторами. включает векторную алгебру и векторныйанализ. Правила векторной алгебры отражают свойства действий........
Большой энциклопедический словарь
Дифференциальное Исчисление — раздел математики, в котором изучаютсяпроизводные, дифференциалы и их применения к исследованию свойств функций.Производной функции y = f(х) называется предел отношения........
Большой энциклопедический словарь
Интегральное Исчисление — раздел математики, в котором изучаются свойстваи способы вычисления интегралов и их приложения к решению различныхматематических, физических и других задач. В систематической........
Большой энциклопедический словарь
Исчисление — знаковая система, создаваемая использованием процессаобразования всех синтаксически правильных символических выражений из буквалфавита системы - языка исчисления,........
Большой энциклопедический словарь
Исчисление Высказываний — раздел математической логики, аксиоматическоепостроение логики высказываний.
Большой энциклопедический словарь
Исчисление Классов — раздел математической логики, логика классов,представленная (построенная) как исчисление; примерно соответствуетсиллогистике Аристотеля.
Большой энциклопедический словарь
Исчисление Предикатов — раздел математической логики, логическоеисчисление, в алфавит знаков которого, помимо символов исчислениявысказываний, входят также символы вещей (индивидов), их свойств........
Большой энциклопедический словарь
Конечных Разностей Исчисление — раздел математики, в котором изучаютсяфункции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие отдифференциального исчисления и интегрального исчисления,........
Большой энциклопедический словарь
Логическое Исчисление — исчисление, символы и правила которого могут бытьинтерпретированы в терминах логики.
Большой энциклопедический словарь
Целом — (coeloma; греч. koiloma углубление, полость; син.: вторичная полость, дейтероцель, метацель) полость зародыша, выстланная мезотелием, возникающая путем раздвигания клеток плотного........
Большой медицинский словарь
Целом Внезародышевый — (с. extraembryonale; син. экзоцелом) часть Ц., расположенная вне туловища зародыша, напр. между амнионом и хорионом, хорионом и желточным мешком.
Большой медицинский словарь
Slovariki 2.0. Знание - сила