- метод приближенного решения нелинейных (и линейных) функциональных и операторных уравнений в банаховых пространствах , а также для качественных исследований. П. в. м. состоит в том, что уравнение Р(х)=0, где оператор Р(х).непрерывно дифференцируем по Фреше до нужного порядка, или нек-рый нелинейный функционал Ф(х), связанный с решением лтого уравнения, обобщаются путем введения вспомогательного числового (или общего функционального) параметра l, принимающего значения на конечном или бесконечном промежутке , так: , где ,- оператор со значениями в Y, так что Р(х)=0 получается при , а уравнение легко разрешается или известно его решение x0. При этом предполагается, что оператор непрерывно дифференцируем (в смысле Фрете) по хи l, т. е. существуют непрерывные частные производные и , и что существует непрерывный оператор из Yв X. Для построения решения уравнения на всем интервале l0ll* строится соответствующая дифференциальная задача (задача Коши) в предположении, что непрерывно дифференцируемая функция со значениями в X, определяемая этим уравнением: или Интервал разбивается точками <.на более мелкие подинтервалы длины , k=1,2,..., п, и к задаче Коши (2) (или (1)) применяются методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с шагом (или несколько таких методов). В результате для построения решения х(l) уравнения F(x, А,)=0 получаются П. в. м. соответствующих типов. Построенное значение х(l*).будет решением уравнения Р(x)=0. Решение на каждом шаге линейных относительно задач вида (1) или обращение линейных операторов в (2), или последовательная аппроксимация обратного оператора проводятся различными методами или опять-таки П. в. м. Шаги выбираются различными способами, напр. из условия минимума нормы невязки как функции многих, вообще говоря, переменных. При этом эффективным является также совместный выбор и свободных параметров метода численного интегрирования, напр. Рунге- Кутта методаs-ro порядка точности, использование корней полиномов Чебыптева и близких к ним и др. Задача Коши (2) служит не только средством для определения приближенного решения рассматриваемого уравнения, но и для доказательства существования самого решения. Изучен ряд различных способов введения параметра l. В качестве числового параметра l, может быть использован также и один из естественных параметров, содержащихся в рассматриваемой задаче. В зависимости от способа введения параметра lП. в. м. является прямым или итерационным методом. Совместное применение прямого и итерационного методов наз. комбинированным П. в. м. Напр., итерационный метод типа усовершенствованного метода Эйлера - Коши с шагом (при F(x,l)=P(x).(1-l)Р( х 0),l=0 и l*=1).является методом 3-го порядка точности и имеет следующий вид: Каждый метод численного интегрирования порождает свой итерационный П. в. м. высокого порядка точности, причем без привлечения производных Р(х).порядка выше первой. Использование методов численного интегрирования в прямом П. в. м. совместно с корректировкой результатов после каждого шага с помощью итерационного П. в. м. (комбинированный П. в. м.) представляет собой один из наиболее эффективных методов решения нелинейных задач.
П. в. м. достаточно хорошо разработан и исследован для широкого класса задач. Первоначально он был предложен для систем алгебраич. и трансцендентных уравнений, интегральных уравнений, дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, а затем для решения более общих нелинейных и операторных уравнений. Изучены условия, при к-рых гарантируется разрешимость уравнения Р(х)=0 и возможность построения его решения интегрированием задачи Коши (2) на интервале и установления области его расположения. Изучены условия сходимости и даны, оценки погрешности. Исследованы также вопросы применения П. в. м. для обращения и псевдообращения линейных операторов, построения псевдорешений (и решений) линейных функциональных уравнений с минимальным уклонением по норме (в заданном подпространстве) от начального значения, суммирования операторных рядов и построения нек-рых классов проекторов, определения начальных приближений для итерационных процессов, решения операторных дифференциальных уравнений и задач линейной алгебры, для доказательства разрешимости нелинейных систем, связанных с вариационными задачами, и построения их решений, минимизации функционалов и многих других. Изучены обширные классы эффективных модификаций П. в. м., в том числе и с последовательной аппроксимацией обратного оператора или . Изучены также широкие классы задач ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. (Впрочем, случай ветвления может быть блокирован другим способом введения параметра lили путем введения дополнительного параметра т.) П. в. м. исследован также как метод "градиентного" типа, а также без предположения существования Г(х). См. также Продолжения по параметру метод. Лит.:[1] Давиденко Д. Ф., "Докл. АН СССР", 1953, т. 88, №4, с. "01-02; [2]. его же, "Укр. матем. ж.", 1955, т. 7, с. 18-28; [3] Гавурин М. К., "Изв. ВУЗов. Математика", 1958, № 5, с. 18-31; [4] Поляк Б. Т., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1964, т.. 4, М 6, с. 995-1005; [5] Давиденно Д. Ф., "Докл. АН СССР", 1965, т. 162, № 3, с. 499- 502; [6] Михлин С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; [7] Kleinmichel H., "Math. Nachr.", 1968, Bd 37, Н. 5/6, S. 313-43; [8] Красносельский М. А. [и др.]. Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [9] Лика Д. К., Шафиев Р. А., "Изв. АН Молд. ССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук", 1970, .N5 2, с. 13-18; [10] Жидков Е. П. [и др.], "Физика элементарных частиц и атомного ядра", 1973, т. 4, в. 1, с. 127-06; [11] Давиденко Д. Ф., "Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", 1975, т. 15, № 1, с. 30-47; [12] Ортега Д ж., Рейнболдт В., Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными, пер. с англ., М., 1975; [13] Келлер Г., в кн.: Методы вычислительной и прикладной математики, в. 2, Новосиб., 1977, с. 6-36; [14] Давиденко Д. Ф.,. в кн.: Математическое программирование и смежные вопросы. Вычислительные методы, М., 1976, с. 187- 212; [15] Коляда Ю. В., Си горский В. П., "Кибернетика", 1980, № 3, с. 24-28. Д. Ф. Давиденко.
Метод — м. и метода ж. способ, порядок, основания; принятый путь для хода, достижения чего-либо, в виде общих правил. -дический, порядочный, правильный, основательный, постепенный;........
Толковый словарь Даля
Метод — (нов. офиц.). Сокращение, употр. в новых сложных словах в знач. методический, напр. методбюро.
Толковый словарь Ушакова
Вариации Мн. — 1. Музыкальное произведение, представляющее собою повторение и разработку основной темы в различных видоизменениях (в мелодии, ритме и т.п.).
Толковый словарь Ефремовой
Метод М. И Устар. Метода Ж. — 1. Способ познания, подход к изучению явлений природы и общественной жизни. 2. Прием, система приемов в какой-л. области деятельности.
Толковый словарь Ефремовой
Метод... — 1. Начальная часть сложных слов, вносящая значение сл.: методический (методбюро, методкабинет, методобъединение и т.п.).
Толковый словарь Ефремовой
Вариации — -ий; мн. (ед. вариа́ция, -и; ж.) [от лат. variatio - изменение]
1. Музыкальное произведение, танец и т.п., основанное на видоизменении и разработке главной темы в мелодии, ритме........
Толковый словарь Кузнецова
Аналитический Метод Прогнозирования — Метод прогнозирования, основанный на получении экспертных оценок путем логического анализа прогнозной модели.
Политический словарь
Бихевиоральный Метод — (от англ. "бихевиор" - поведение) - в политологии предполагает исследование политических явлений и процессов через анализ поведения индивидов и групп при исполнении........
Политический словарь
Дельфийский Метод, Метод Делфи — Метод коллективной экспертной оценки, основанный на выявлении согласованной оценки экспертной группы путем их автономного опроса в несколько туров, предусматривающего........
Политический словарь
Матричный Метод Прогнозирования — Метод прогнозирования, основанный на использовании матриц, отражающих значения (веса) вершин граф-модели объекта прогнозирования, с последующим преобразованием матриц........
Политический словарь
Метод — - средство анализа, способ проверки и оценки знания.
Политический словарь
Метод Деструктивной Отнесенной Оценки — Метод коллективной генерации идей, реализуемый посредством двух разнесенных во время сессий, первая из которых полностью подчиняется правилам коллективной генерации........
Политический словарь
Метод Индивидуальной Экспертной Оценки — Метод прогнозирования, основанный на использовании в качестве источника информации одного эксперта.
Политический словарь
Метод Интервью — Метод индивидуальной экспертной оценки, основанный на беседе эксперта с прогнозистом по схеме "вопрос -- ответ".
Политический словарь
Метод Исторической Аналогии — Метод прогнозирования, основанный на установлении и использовании аналогии объекта прогнозирования с одинаковым по природе объектом, опережающим первый в своем развитии.
Политический словарь
Метод Коллективной Генерации Идей — Метод коллективной экспертной оценки, основанный на стимулировании творческой деятельности экспертов путем совместного обсуждения конкретной проблемы, регламентированного........
Политический словарь
Метод Коллективной Экспертной Оценки — Метод прогнозирования, основанный на выявлении обобщенной объективированной оценки экспертной группы путем обработки индивидуальных, независимых оценок, вынесенных........
Политический словарь
Метод Математической Аналогии — Метод прогнозирования, основанный на установлении аналогии математических описаний процессов развития различных по природе объектов с последующим использованием........
Политический словарь
Метод Построения Прогнозного Сценария — Аналитический метод прогнозирования, основанный на установлении логической последовательности состояний объекта прогнозирования и прогнозного фона во времени при........
Политический словарь
Метод Прогнозирования — Способ исследования объекта прогнозирования, направленный на разработку прогнозов. Примечание. Методы прогнозирования являются основанием для методик прогнозирования.
Политический словарь
Метод Психо-интеллектуальной Генерации Идей — Метод индивидуальной экспертной оценки, при котором выявление экспертной оценки осуществляется с помощью программированного управления, включающего обращение к........
Политический словарь
Метод Управляемой Генерации Идей — Метод коллективной генерации идей с использованием целенаправленного интеллектуального воздействия (усиливающего или подавляющего) на процесс генерации идей.
Политический словарь
Метод Эвристического Прогнозирования — Аналитический метод прогнозирования, состоящий в построении и последующем усечении дерева поиска экспертной оценки с использованием какой-либо эвристики.
Политический словарь
Метод Экспертных Комиссий — Метод коллективной экспертной оценки, состоящий в совместной работе объединенных в комиссию экспертов, разрабатывающих документ о перспективах развития объекта прогнозирования.
Политический словарь
Опережающий Метод Прогнозирования — Метод прогнозирования, основанный на использовании свойства научно-технической информации опережать реализацию научно-технических достижений в общественной практике.
Политический словарь
Патентный Метод Прогнозирования — Опережающий метод прогнозирования, основанный на оценке (по принятой системе критериев) изобретений и исследовании динамики их патентования.
Политический словарь
Публикационный Метод Прогнозирования — Опережающий метод прогнозирования, основанный на оценке публикаций об объекте прогнозирования (по принятой системе критериев) и исследовании динамики их публикования.
Политический словарь
Синоптический Метод — Метод прогнозирования, основанный на анализе экспертами известного множества прогнозов объекта прогнозирования и прогнозного фона с последующим их синтезом.
Политический словарь
Системный Метод В Политологии — - рассмотрение политики как целостного, сложно организованного, саморегулирующегося механизма, находящегося в непрерывном взаимодействии с окружающей средой.
Политический словарь
Сравнительный Метод В Политологии — - сопоставление однотипных политических явлений и процессов и выявление их общих черт и специфики с целью нахождения оптимальных форм политической организации или путем решения задач.
Политический словарь
Slovariki 2.0. Знание - сила