Математическая энциклопедия

Навье - Стокса Уравнения

- основные уравнения движения вязкой жидкости, представляющие математическое выражение законов сохранения импульса и массы. Для неустановившегося течения сжимаемой жидкости Н.- С. у. в декартовой системе координат могут быть, записаны в виде где - вектор скорости с проекциями на соответствующие оси координат - давление,- плотность,- коэффициент вязкости;- проекции вектора массовой силы на координатные оси; - субстанциональная производная. При выводе уравнений (1) использован обобщенный закон трения Ньютона, предполагающий, что для движущихся жидкостей и газов напряжения пропорциональны скоростям деформаций. Для исследования сжимаемых течений к уравнениям (1) необходимо добавить уравнение состояния, связывающее между собой давление, плотность и температуру, и уравнение энергии. Уравнения (1), составляющие основу гидродинамики, впервые были получены Л. Навье [1] и С. Пуассоном [2] на основе соображений о действии межмолекулярных сил. Б. Сен-Венан [3] и Дж. Г. Стоке [4] вывели эти уравнения, допуская только, что нормальные и касательные напряжения линейно связаны со скоростями деформаций. Для течений несжимаемой изотермич. жидкости () уравнения (1) в векторной форме могут быть представлены в виде При анализе Н.- С. у., как правило, рассматриваются в безразмерной форме, к-рая получается путем отнесения всех величин, входящих в уравнения, к соответствующим характерным величинам. Так, в случае стационарных течений несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил в Н.- С. у. появляется один определяющий безразмерный параметр, наз. Рейнольдса числом: где Vи l- характерные скорости и линейный размер, v - кинематическая вязкость. Для исследования двумерных несжимаемых течений часто используются Н.- С. у. в форме Гельмгольца: где - функция тока и - вихрь связаны с проек циями скорости и следующим образом: Основные краевые задачи для стационарных Н.- С. у. связаны с исследованием течений в замкнутых полостях, каналах, течений со свободными поверхностями, с обтеканием тел, течений в струях и следах за телами. При этом интегрирование Н.- С. у. проводится в областях (конечных или бесконечных), на границе к-рых ставятся условия из соображений физич. характера (условия прилипания или скольжения на поверхности тел, вдува или отсоса на проницаемых поверхностях, условия внешнего потока вдали от обтекаемого тела, условия на свободной границе и др.). Для нестационарных задач помимо граничных условий должны задаваться начальные условия. Строгий математич. анализ разрешимости краевых задач гидроаэромеханики для Н.- С. у. сжимаемого газа отсутствует (1982). Имеются нек-рые результаты в математич. теории динамики вязкой несжимаемой жидкости (см. Гидродинамики математические задачи). Первоначально усилия исследователей были направлены на отискание точных решений. Напр., для несжимаемой жидкости имеются точные решения для установившихся течений: в плоском канале при заданном постоянном перепаде давления (течение Пуазёйля); между двумя параллельными плоскими стенками, одна из к-рых покоится, а другая движется в своей плоскости с постоянной скоростью (течение Куэтта); в прямолинейной трубе с круглым поперечным сечением при постоянном перепаде давления (течение Хагена- Пуазейля). Найдены также нек-рые автомодельные решения, среди них: плоскопараллельное (и осесимметричное) течение вблизи критической точки (течение Хоуарта); течения в суживающемся и расширяющемся каналах (течение Гамеля). Приближенные решения Н.- С. у. основаны на упрощающих предположениях. Здесь следует отметить решения при очень малых числах Рейнольдса , соответствующие так наз. ползущим движениям, среди к-рых наиболее известно течение Стокса около шара. Предельный случай очень больших чисел Рейнольдса приводит к теории гидродинамического пограничного слоя. Уравнения пограничного слоя позволили решить большой круг практически важных задач на основе широко разработанных приближен ных и численных методов. Для решения нек-рых классов задач динамики вязких жидкостей и газов разработаны достаточно эффективные алгоритмы, основанные на использовании разностных схем. Напр., для задачи расчета ламинарных течений вязких несжимаемых жидкостей в областях простой формы (или около тел простой формы). Наибольшее распространение здесь получили разностные методы для уравнений в форме (3), хотя для этой системы и имеются трудности, связанные с определением граничных условий для . Первые результаты по решению стационарного варианта системы (3) были получены с помощью простейших явных пятиточечных схем и итерационных методов (см. [6]). Решение стационарных задач динамики вязкой несжимаемой жидкости большей частью основано на использовании метода установления и применении явных и неявных схем для системы (3). Среди явных схем используются двухслойные по времени схемы с симметричной аппроксимацией первых производных центральными разностями и решением второго уравнения из (3) на каждом временном слое с помощью метода Зейделя, а также трехслойная схема, в к-рой конвективные члены аппроксимируются по схеме "крест", а диффузионные - по схеме Дюфорта - Франкеля. С помощью уже этих схем были получены нек-рые результаты при решении стационарных задач о ламинарных двумерных течениях в суживающемся и расширяющемся каналах, в прямоугольной выемке с движущейся крышкой, а также нестационарной задаче обтекания в канале плоской пластины, расположенной перпендикулярно к направлению потока. Неявные схемы, как правило, основаны на применении метода дробных шагов (см. [8]). Общая структура таких схем для уравнения (3) может быть представлена, напр., в виде где - разностные одномерные операторы: В этих формулах - временной шаг,- итерационный параметр,- итерационные индексы при решении уравнения Пуассона из (3) на временном слое итерационным методом; - разностные операторы, аппроксимирующие соответствующие вторые и первые производные. Первое уравнение из (3) используется для нахождения значений , а второе - значений на последующем временном слое. Аппроксимация вторых производных, как правило, симметричная, а аппроксимация первых производных в уравнении для проводится или симметричными разностями, или односторонними разностями против потока с учетом знака скорости. Хорошо зарекомендовала себя схема в [9] с примененном монотонной аппроксимации (см. [10]). Эта схема для первого уравнения (3) имеет вид где hи l- шаги сетки по хи у, Разностные уравнения (4) обычно приводятся к трех-диагональному виду и совместно с соотношениями, аппроксимирующими граничные условия, решаются методом прогонки. При решении стационарных задач методом установления может применяться либо поочередное решение уравнений (4) (без внутренних итераций для определения ), либо одновременное решение соответствующих уравнений из (4) для совместного нахождения и с помощью векторной прогонки. Трудности, связанные с постановкой граничных условий для уравнений (3), заключаются в том, что обычные граничные условия прилипания на твердых стенках для Н.- С. у. дают условия только для . Для численного решения уравнения для формально требуют граничные условия для вихря. Эти условия могут быть получены на каждом временном слое либо приближенно на границе области, либо путем интегрирования уравнения для только в области, расположенной внутри основной области интегрирования [9].
Для исследования двумерных течений уравнения в форме (2) используются реже и, как правило, с некоторой регуляризацией уравнения неразрывности. Вариационно-сеточные методы, и в частности метод конечных элементов, нашли свое применение для решения уравнений динамики вязкой жидкости в форме (2) и (3). С помощью разностных методов исследовались разнообразные задачи течения вязких несжимаемых жидкостей. Среди них задачи обтекания эллиптического й кругового цилиндра (в том числе вращающегося), пластины конечной толщины (в том числе под углом атаки), ци-линдрич. торца, капли, плоской ступени и др. Изучались также течения в каверне, в плоском и Цилиндрич. канале, в канале с препятствиями на стенках, течения со свободной поверхностью, течения естественной, вынужденной и смешанной конвекции. Применение разностных методов для расчета течений вязкого сжимаемого газа на основе полных Н.- С. у. сопряжено с нек-рыми дополнительными трудностями по сравнению с расчетами течений несжимаемой вязкой жидкости. Это связано с тем, что в течениях сжимаемого газа существуют не только области пограничных слоев, но и другие области больших градиентов искомых функций, к-рые соответствуют ударным волнам и волнам разрежения в невязких течениях газа. Сложность самой системы Н.- С. у. для сжимаемого вязкого газа предъявляет повышенные требования к быстродействию и памяти ЭВМ. Использование явных схем в этом случай приводит к более простым алгоритмам. Примером явной схемы, хорошо зарекомендовавшей себя для расчета стационарных течений методом установления, является схема, к-рая для простого модельного уравнения с постоянными коэффициентами может быть записана в виде Эта схема аппроксимирует (5) на гладком установившемся решении с порядком и устойчива при Условие устойчивости не зависит от . Это означает, что при применении этой схемы к Н.- С. у. условие устойчивости не зависит от числа Рейнольдса. Тем не менее ограничение на итерационный шаг по времени для явных схем является существенным. Неявные схемы, как правило, не обладают такими ограничениями и абсолютно устойчивы для соответствующих линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Неявные схемы для расчета двумерных течений вязкого газа используются в сочетании с методом дробных шагов. Построены (1982) различные разностные схемы метода переменных направлений: с полной и неполной аппроксимацией на промежуточных слоях, дивергентные и недивергентные (см. [11]), схемы повышенного порядка точности (выше второго) относительно шагов сетки по пространству (см. [12]). Численное моделирование течений вязкого газа на основе Н.- С. у. связано с расчетом течений сложной структуры и с использованием достаточно подробных сеток, что невозможно в силу ограниченности памяти ЭВМ без применения метода взаимно перекрывающихся областей (см. [13]). Разностные методы решения Н.- С. у. применялись для исследования большого числа задач динамики вязкого газа. Среди них задачи - сверхзвукового обтекания затупленных тел (сферы, торца кругового цилиндра), составных тел (сфера - конус, сфера - цилиндр), клина, передней кромки плоской пластины. Рассмотрены также течения в следах за телами конечных размеров, течения в соплах и воздухозаборниках, течения в полости при внешнем до- и сверхзвуковом потоке, исследовалось взаимодействие пограничного слоя с ударной волной, структура ударной волны в плазме и др. задачи. Перечисленные течения предполагались, как правило, ламинарными. Лит.:[1] Naviеr, "Mem. Acad., sci.", 1827, t. 7, p. 375-94-[2] Poisson S. D.,"J. Ecole polytechn.", 1831, t. 13, p. 1 - 174; [3] Saint-Venant, "C. r. Acact. sci.", 1843, t. 17; [4] Stоkes G. G., "Trans. Cambr. Phil. Soc", 1849, v. 8, p! 287 - 319; [5] Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, пер. с нем., М., 1974; [6] Том А., Эйплт К., Числовые расчеты полей в технике и физике, пер. с англ., М.- Л., 1964: [7] Браиловская И. Ю., Кускова Т. В., Чудов Л. А., в кн.: Вычислительные методы и программирование, в. 11, М., 1968, с. 3-18; [8] Яненко Н. Н., Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [9] Полежаев В. И., Грязнов В. Л., "Докл. АН СССР", 1974, т. 219, № 2, с. 301-04; [10] Самарский А. А., "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1965, т. 5, с. 548-51; [11] КовеняВ. М., Яненко Н. Н., Метод расщепления в задачах газовой динамики, Новосиб., 1981; [12] Толстых А. И., "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1978, т. 18, № 1, с. 139-53; [13] Кокошинская Н. С, Павлов Б. М., Пасконов В. М., Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом, М., 1980; [14] Темам Р., Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ, пер. с англ., М., 1981; [15] Численное исследование современных задач газовой динамики, М., 1974; [16] Роуч П. Дж., Вычислительная гидродинамика, пер. с англ., М., 1980; [17] Rеуrеt R., Viviand H., "Lect. Notes Comput. Sci.", 1974, № 11, p. 160-84; [18] Burggral O. R., "Lect. Notes Phys.", 1976, [№ 59], p. 52-64. В. М. Пасконов.


Смотреть значение Навье - Стокса Уравнения в других словарях

Уравнения Слуцкого — уравнение,
смысл которого состоит в том, что
изменение
спроса на некоторый
товар при повышении или снижении его
цены складывается из влияния непосредственного........
Экономический словарь

Адамса-морганьи-стокса Синдром — (R. Adams, 1791-1895, ирланд. врач.; G. Morgagui, 1682-1771, итал. врач.; W. Stokes, 1804-1878, ирланд. врач) см. Морганьи-Адамса-Стокса синдром.
Большой медицинский словарь

Гритти-стокса Операция — (R. Gritti, 1828-1920, итал. хирург; W. Stokes, 1839-1900, ирланд. хирург) см. Гритти-Шимановского операция.
Большой медицинский словарь

Закон Стокса — , в механике текучих сред - формула, задающая предельную скорость, с которой твердые частицы осаждаются в текучей среде (жидкости или газе). Для частиц радиуса r (менее........
Научно-технический энциклопедический словарь

Дыхание Чейна-стокса — см. Чейна-Стокса дыхание.
Большой медицинский словарь

Морганьи-адамса-стокса Синдром — (G. В. Morgagni, 1682-1771, итал. врач и анатом; R. Adams, 1791-1875, ирланд. врач; W. Stokes, 1804-1878, ирланд. врач; син.: Адамса-Морганьи-Стокса синдром, Спенса синдром, Стокса синдром) возникновение........
Большой медицинский словарь

Диофантовы Уравнения — алгебраические уравнения или их системы с целымикоэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений,и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
Большой энциклопедический словарь

Коши Римана Уравнения — дифференциальные уравнения с частнымипроизводными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую частианалитической функции комплексного переменного : Эти уравнения........
Большой энциклопедический словарь

Лоренца Максвелла Уравнения — (Лоренца уравнения) - фундаментальныеуравнения классической электродинамики, определяющие микроскопическиеэлектрические и магнитные поля, создаваемые отдельными........
Большой энциклопедический словарь

Максвелла Уравнения — основные уравнения классической макроскопическойэлектродинамики, описывающие электромагнитные явления в произвольныхсредах и в вакууме. Уравнения Максвелла получены........
Большой энциклопедический словарь

Стокса Воротник — (W. Stokes, 1804-1878, ирланд. врач; син. Стокса симптом) отек шеи, а иногда и лица, рук, верхней части груди и области лопаток, сопровождающийся набуханием кожных вен; признак сдавления........
Большой медицинский словарь

Стокса Симптом — (W. Stokes) см. Стокса воротник.
Большой медицинский словарь

Стокса Синдром — (W. Stokes) см. Морганьи-Адамса-.
Большой медицинский словарь

Навье — (Navier) Анри (1785-1836) - французский инженер и ученый. Труды построительной механике, сопротивлению материалов, теории упругости,гидравлике и гидромеханике; вывел (1822) т. н.........
Большой энциклопедический словарь

Навье Стокса Уравнения — дифференциальные уравнения движения вязкойжидкости или газа. Названы по имени А. Навье и Дж. Г. Стокса.
Большой энциклопедический словарь

Чейна-стокса Дыхание — (J. Cheyne, 1777-1836, шотл. врач; W. Stokes, 1804-1878, ирланд. врач) дыхание, при котором поверхностные и редкие дыхательные движения постепенно учащаются и углубляются и, достигнув максимума,........
Большой медицинский словарь

Равносильные Уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней(в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корнейсовпадали). Так, из трех уравнений , 3х - 7 = 5, (х -........
Большой энциклопедический словарь

Совместные Уравнения — система уравнений, для которых существует системазначений неизвестных, удовлетворяющая всем данным уравнениям.
Большой энциклопедический словарь

Стокса Закон: — сила сопротивления - испытываемая твердым шаром при егомедленном поступательном движении в неограниченно вязкой жидкости,F=6pmru, где r - радиус шара, m - коэффициент вязкости........
Большой энциклопедический словарь

Стокса Правило — утверждает, что длина волны фотолюминесценции большедлины волны возбуждающего люминесценцию света. Установлено Дж. Г. Стоксомв 1852.
Большой энциклопедический словарь

Стокса Формула — формула, связывающая криволинейный интеграл по замкнутомуконтуру с поверхностным интегралом по поверхности, ограниченной этимконтуром. Предложена Дж. Г. Стоксом в 1854.
Большой энциклопедический словарь

Уравнения Математической Физики — дифференциальные уравнения с частнымипроизводными, интегральные уравнения, к которым приводит математическийанализ физических явлений. См., напр., Волновое уравнение,........
Большой энциклопедический словарь

Уравнения Химические — запись химической реакций при помощи химическихформул и численных коэффициентов. В левой части уравнений химическихзаписываются формулы исходных веществ, в правой........
Большой энциклопедический словарь

Химические Уравнения — см. Уравнения химические.
Большой энциклопедический словарь

Дыхание Чейна-стокса — [Cheine J., Stokes W.] Характеризуется постепенным нарастанием частоты и глубины, а затем их спадом до полной остановки Д. Наблюдается при повышении внутричерепного давления,........
Психологическая энциклопедия

А́дамса — Морга́ньи — Сто́кса Синдро́м — (R. Adams, 1791—1895, ирланд. врач.; G. Morgagni, 1682—1771, итал. врач.; W. Stokes, 1804—1878, ирланд. врач)
см. Морганьи — Адамса — Стокса синдром.
Медицинская энциклопедия

А́дамса — Сто́кса — Морга́ньи С́индро́м — см. Морганьи — Адамса — Стокса синдром.
Медицинская энциклопедия

Гри́тти — Сто́кса Опера́ция — (R. Gritti, 1828—1920, итал. хирург; W. Stokes, 1839—1900, ирланд. хирург)
см. Гритти — Шимановского операция.
Медицинская энциклопедия

Синдром Стокса-адамса, Синдром Адамса-стокса — (AdamsStokes syndrome) - полная атриовентрикулярная сердечная блокада - ред.; приступы временной потери сознания, развивающиеся в результате прекращения кровотока во время желудочковой........
Психологическая энциклопедия

Морга́ньи — А́дамса — Сто́кса Синдро́м — (G.В. Morgagni, 1682—1771, итал. врач и анатом; R. Adams, 1791—1875, ирланд. врач; W. Stokes, 1804—1878, ирланд. врач; син.: Адамса — Морганьи — Стокса синдром, Спенса синдром, Стокса синдром)
возникновение........
Медицинская энциклопедия

Посмотреть еще слова :