кольца и алгебры с ассоциативным умножением, т. е. множества с двумя бинарными операциями - сложением + и умножением Х, являющиеся абелевой группой по сложению и полугруппой по умножению, причем умножение дистрибутивно (слева и справа) относительно сложения. Ассоциативная алгебра, кроме того, должна быть векторным пространством над фиксированным полем Fи умножение в ней связано с умножением на элементы поля условиями для всех , из алгебры. Первыми примерами ассоциативных колец (А. к.) и ассоциативных алгебр (А. а.) были числовые кольца и поля (поле комплексных чисел и его подкольца), алгебры многочленов, алгебры матриц над полями, кольца функций. Как самостоятельная область алгебры теория А. к. и А. а. оформилась к началу 20 в. Эта теория имеет много точек соприкосновения с многими областями математики, в особенности с алгебраич. геометрией и алгебраич. теорией чисел (коммутативные кольца), функциональным анализом (коммутативные нормированные кольца, кольца операторов и кольца функций), топологией (кольца непрерывных функций на топологич. пространствах). Из теории А. к. и А. а. выделились в самостоятельные области алгебры теория полей и теория коммутативных колец (см. также Коммутативная алгебра), теория представлений ассоциативных алгебр. Теория топология, колец и тел входит в качестве составной части в топологическую алгебру. Классич. часть теории А. к. и А. а.- теория конечномерных А. а. (см. [2]). Центральные результаты этой теории: конечномерная простая (т. е. без собственных идеалов) А. а. над полем Fявляется полной матричной алгеброй над нек-рым телом, конечномерным над F(теорема Веддерберна); конечномерная А. а. над полем характеристики нуль (и даже более общо - сепарабельная конечномерная А. а.) есть прямая сумма (как линейных пространств) своего радикала I (т. е. максимального нильпотентного идеала) и нек-рой полупростой (т. е. с нулевым радикалом) подалгебры S, причем любые две дополнительные полупростые подалгебры Sи Sj сопряжены (см. Веддерберна - Мальцева теорема). Одним из важнейших классов А. к. являются тела (то есть А. к., в к-рых разрешимы уравнения и для всех а, b из кольца, ). Тела, являющиеся алгебрами над нек-рым полем, наз. алгебрами с делением. Теория конечномерных алгебр с делением - клас-сич. часть теории тел. Описаны все конечномерные А. а. с делением над полем действительных чисел - это само поле действительных чисел, поле комплексных чисел и тело кватернионов (Фробениуса теорема). Всякое конечное тело коммутативно (теорема Веддерберна о телах). Построена теория Галуа тел [5]. Центральными понятиями структурной теории А. к. являются понятия Джекобсона радикала, полупростоты и примитивности. А. к. наз. нолупростым (в смысле Джекобсона), если его радикал Джекобсона равен нулю. Кольцо паз. примитивным (справа), если оно обладает правым неприводимым точным модулем. Всякое полупростое А. к. является подпрямой суммой примитивных колец. Каждое примитивное А. к. Rесть плотное кольцо линейных преобразований нек-рого векторного пространства Vнад телом (теорема плотности Джекобсона); здесь плотность означает, что для любых линейно независимых элементов из V и любых элементов из Vсуществует преобразование такое, что при Важное место в структурной теории колец занимает общая теория радикалов (см. Радикалы колец). Классич. частью теории А. к. является теория артиновых колец (справа), т. е. колец с условием минимальности для правых идеалов. Центральный результат этой теории: А. к. будет полупростым артиновым кольцом тогда и только тогда, когда оно является прямой суммой конечного числа полных матричных колец над телами (Веддерберна - Артина теорема). Большое значение в структурной теории А. к. имеет понятие (классического) кольца частных. Кольцо наз. (правым) кольцом частных своего подкольца R, если в Q(R).все регулярные элементы (т. е. не делители нуля) кольца Rобратимы и любой элемент из имеет вид , где . А. к. обладает кольцом частных тогда и только тогда, когда для любых элементов где регулярен, существуют элементы такие, что регулярен (теорема Оре). Кольцо обладает полупростым артиновым кольцом частных тогда и только тогда, когда оно полупервично (т. е. для всякого ненулевого идеала ), удовлетворяет условию минимальности для правых аннуляторных идеалов вида где S - подмножество R, и не содержит бесконечных прямых сумм правых идеалов (теорема Голди). Наряду с классич. кольцами частных изучаются и кольца частных в других смыслах, в первую очередь максимальные, или полные, кольца частных [8].
Значительное внимание уделяется изучению свободных ассоциативных алгебр. Пусть - поле, - множество. Свободная А. а. с единицей над с базой есть алгебра некоммутативных многочленов со свободными членами от множества переменных с коэффициентами из . Алгебра характеризуется тем, что порождается как алгебра с единицей множеством п любое отображение в А. а. Л с единицей может быть и притом единственным способом продолжено до гомоморфизма в Л. Свободная А. а. является кольцом со свободными идеалами, т. е. правые (левые) идеалы кольца суть свободные правые (левые) -модули, при этом любые базисы свободного конечно порожденного -модуля содержат одинаковое число элементов (теорема Кона). Другие примеры колец со свободными идеалами - групповые алгебры свободных групп и свободные произведения А. а. с делением. Свободная А. а. является также областью с однозначным разложением: любой необратимый элемент обладает представлением - неприводимые элементы, и это представление единственно с точностью до порядка членов и подобия (два элемента и кольца наз. подобными, если и изоморфны как правые -модули). Централизатор каждого нескалярного элемента алгебры изоморфен алгебре многочленов от одного переменного (теорема Бергмана). Важными классами А. а. являются групповые алгебры, н PI -алгебры. Развивается теория многообразий колец. Роль теории колец в математике возросла в связи с развитием гомологической алгебры. Многие известные классы колец можно охарактеризовать в терминах свойств модулей категорий над этими кольцами. Напр., кольцо R является полупростьш артиновым тогда и только тогда, когда все правые (левые) модули над R проективны (инъективны). Кольцо R регулярно (в смысле фон Неймана) тогда и только тогда, когда все правые (левые) модули над R являются плоскими; см. также Регулярное кольцо, Гомологическая классификация колец, Кеазифробениусово кольцо. Лит.:[1 ] Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, ч. 1-2, пер. с нем., М.-Л., 1947; [2] Albert А. А., Structure of alrebras, N. Y., 1939; [3] Artin E., NesbittC.J., Thrall R. M., Rings with minimum conditions, Ann Arbor, 1944; [4] Джекобсон Н., Теория колец, пер. с англ., М., 1947; [5] его же, Строение колец, пёр. с англ., М., 1961; [6] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [7] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [8] Ламбек И., Кольца и модули, пер. с англ., М.. 1971; [9] Кэртис Ч., Райнер И., Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, пер. с англ., М., 1969; [10] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973: [11] К о н П., Свободные кольца и их связи, пер. с англ., М., 1975; [12] Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, т. 1,2, пер. с англ., М., 1963; [13] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [14] Итоги науки. Алгебра. Топология. 1962, М., 1963, с. 59-79; [15] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967, с. 133-180: [16] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, 1968, М., 1970, с. 9-56; [17] Бокуть Л. А., Кузьмин Е. Н., Ширшов А. И., Кольца, т. 1-.4, Новосибирск, 1973; [18] Divinskу N. J., Rings and radicals, L., 1965; [19] Passman D. S., Infinite group rings, N. Y., 1971: [20] Procese C., Rings with polynomial identities, N. Y., 1973. Л.
Кольца Мн. — 1. Гимнастический снаряд из двух подвешенных обручей.
Толковый словарь Ефремовой
Ассоциативные Нервные Пути — (tractus nervosi associationis, PNA) проводящие пути ц. н. с., соединяющие разные отделы коры в пределах одного полушария большого мозга.
Большой медицинский словарь
Вимбергера Кольца — (Н. Wimberger, совр. австрийский рентгенолог; син. Вимбергера признак) эксцентрически расположенные просветления в области рентгеновских теней эпифизарных ядер окостенения,........
Большой медицинский словарь
Волокна Ассоциативные — нервные В., соединяющие между собой клетки различных участков коры одного и того же полушария большого мозга.
Большой медицинский словарь
Волокна Ассоциативные Длинные — В. а., связывающие клетки отдаленных участков коры.
Большой медицинский словарь
Волокна Ассоциативные Короткие — В. а., связывающие клетки соседних извилин коры.
Большой медицинский словарь
Донецкого Кольца — (Д. А. Донецкий, сов. хирург) металлические кольца с крючками, используемые при наложении сосудистого анастомоза.
Большой медицинский словарь
Кебота Кольца — (R. С. Cabot, 1868-1939, амер. врач) морфологические образования в эритроцитах в форме кольца, восьмерки или скрипичного ключа, являющиеся, вероятно, остатками ядерной оболочки;........
Большой медицинский словарь
Височные Кольца — бронзовые, серебряные, золотые женские украшения,вплетавшиеся в волосы у висков. Известны с бронзового века, былираспространены у восточных славян в средние века.
Большой энциклопедический словарь
Годичные Кольца — у растений - слои прироста древесины, образованныекамбием в результате сезонной периодичности его деятельности. Видны наспиле ствола дерева. Позволяют определять........
Большой энциклопедический словарь
Кольца — гимнастические - 2 металлических кольца, покрытые деревом (толщина2,8 см, внутренний диаметр 18 см), подвешены на высоту (от пола) не св.255 см, расстояние между кольцами 45-50 см.
Большой энциклопедический словарь
Кольца Сатурна — яркие плоские концентрические кольца вокруг планетыСатурн (обозначаются буквами от А до G, кольца E, F, G открыты скосмических аппаратов), образованы множеством отражающих........
Большой энциклопедический словарь
Симптом Роговичного Кольца — (син. Кайзера-Флейшера кольцо) желтовато-зеленая или зеленовато-коричневая пигментация по периферии роговицы; признак гепатоцеребральной дистрофии, обусловленный........
Большой медицинский словарь
Синдром Эзофагеального Кольца — сочетание загрудинной боли, изжоги, отрыжки, рвоты (с примесью крови) и скрытых пищеводных кровотечений, обусловленное желудочно-пищеводным рефлюксом при грыже пищеводного........
Большой медицинский словарь
Ньютона Кольца — чередующиеся светлые и темные кольца, наблюдающиеся приосвещении монохроматическим светом, вокруг точки соприкосновениясферических поверхностей двух линз или выпуклой........
Большой энциклопедический словарь
Ведьмины Кольца — ведьмины круги, характерное расположение плодовых тел грибов сем. агариковых и болетовых по периферии почти правильного круга, обусловленное центробежным ростом их........
Биологический энциклопедический словарь
Годичные Кольца — 1) у растений — зоны прироста древесины, образованные камбием в результате сезонной периодичности его активности. Наиб. хорошо выражены у древесных растений умеренных........
Биологический энциклопедический словарь
Кольца — -как украшение в древности были широко распространены (Исх 35.22) и носились женщинами на пальцах, запястьях, в ушах и даже в носу (Ис 3.20). (См. украшение)
Исторический словарь
Ассоциативные Законы — Общий термин для обозначения ряда эмпирических и теоретических обобщений относительно того, каким образом формируются ассоциации. Наиболее часто цитируемое и наиболее........
Психологическая энциклопедия
Ассоциативные Области — Области коры головного мозга, где, как предполагается, формируются "высшие познавательные процессы", такие как мышление, логическое мышление и т.д. Вообще ассоциативными........
Психологическая энциклопедия
Ведьмины Кольца — это круги вытоптанной травы на лугах. Считается, что это следы хороводов волшебных существ. Вокруг этих колец растут поганки, которые называют «ведьмиными» или «эльфийскими» грибами.
Энциклопедия мифологии
Ландолта, Кольцо (кольца) — Фигура, по форме напоминающая пончик, с отверстием в нем, которая используется для измерения остроты зрения. Стандартное кольцо имеет толщину в 1 мину зрительного угла........
Психологическая энциклопедия
Ассоциати́вные Не́рвные Пути́ — (tractus nervosi associationis, PNA)
проводящие пути ц.н.с., соединяющие разные отделы коры в пределах одного полушария большого мозга.
Медицинская энциклопедия
Ви́мбергера Ко́льца — (H. Wimberger, совр. австрийский рентгенолог; син. Вимбергера признак)
эксцентрически расположенные просветления в области рентгеновских теней эпифизарных ядер окостенения,........
Медицинская энциклопедия
Принцип Кольца Рефлекторного — - схема непосредственно вытекает из принципа кольца рефлекторного. В упрощенном варианте схемы имеется моторный центр, из коего поступают эффекторные команды в мышцу........
Психологическая энциклопедия
Доне́цкого Ко́льца — (Д.А. Донецкий, советский хирург)
металлические кольца с крючками, используемые при наложении сосудистого анастомоза.
Медицинская энциклопедия
Ке́бота Ко́льца — (R.С. Cabot, 1868—1939, американский врач)
морфологические образования в эритроцитах в форме кольца, восьмерки или скрипичного ключа, являющиеся, вероятно, остатками ядерной........
Медицинская энциклопедия
Ма́точные Ко́льца — (синоним влагалищные пессарии)
приспособления из резины, используемые при опущении или выпадении матки и (или) влагалища для удержания их в правильном положении, — см. Выпадение матки.
Медицинская энциклопедия
Симпто́м Рогови́чного Кольца́ — (син. Кайзера — Флейшера кольцо)
желтовато-зеленая или зеленовато-коричневая пигментация по периферии роговицы; признак гепатоцеребральной дистрофии, обусловленный........
Медицинская энциклопедия
Синдро́м Эзофагеа́льного Кольца́ — сочетание загрудинной боли, изжоги, отрыжки, рвоты (с примесью крови) и скрытых пищеводных кровотечений, обусловленное желудочно-пищеводным рефлюксом при грыже пищеводного........
Медицинская энциклопедия
Slovariki 2.0. Знание - сила