- делители вида появляющиеся у коэффициентов рядов при интегрировании дифференциальных уравнений посредством рядов Тейлора, Фурье пли Пуассона; здесь P=(p1, ..., p т), Q=(q1, ..., q п) - целочисленные, - действительный и - комплексный векторы, а <.,.> - скалярное произведение. При этом существование решения и такие его качества, как аналитичность, гладкость и т. п., существенно зависят от арнфметич. природы чисел и таких же качеств (аналитичность, гладкость и т. п.) дифференциальных уравнений. Ниже указаны условия на векторы к-рые обеспечивают аналитичность решения соответствующей аналитич. адачи. Эти условия различны для задач линейных и нелинейных. 1. Линейные задачи, а) Ряд Тейлора. Решение x уравнения где Х=(x1, ..., х n), а функция j аналитична в точке Х=0 (причем j(0)=0) и разлагается в указанный ряд Тейлора, дается рядом Тейлора Этот ряд сходится в нек-рой окрестности нули, если существуют такие числа e, v>0, что для всех целочисленных Это условие неулучшаемо в классе всех аналитич. функций j; оно необходимо для сходимости ряда x. б) Ряд Фурье. Решение h уравнения где Y=(y1, . . ., у т), правая часть к-рого разложена в ряд Фурье, дается рядом Фурье к-рый сходится в нек-рой полосе если функция y аналитична и где предел берется по всем целочисленным Р, Это условие неулучшаемо в классе всех аналитич. функций y вида (3). Уравнение (3) встречается в задаче приведения системы обыкновенных дифференциальных уравнений на торе (см. [1], там вместо условия (4) ошибочно дано (2)). Аналогично обстоит дело при интегрировании по tусловно периодич. функции Подобные линейные задачи возникают в каждом приближении при итерационном решении нелинейных задач (в теории возмущений). Если условия (2) или (4) не выполнены, то неформальное решение соответствующей задачи может не быть аналитическим, гладким или даже не существует вовсе (в зависимости от арифметнч. природы векторов и ), хотя формальные решения - ряды x и h всегда существуют (см. [1]). 2. Нелинейные задачи. В таких задачах М. з. (1) появляются не поодиночке, а в виде произведений. а) Р я д ы Тейлора. Рассмотрим систему вблизи неподвижной точки X-0: где jj - сходящиеся ряды Тейлора без свободных членов. Пусть для целочисленных Тогда существует формальная обратимая замена координат где xj - также ряды Тейлора без свободных членов, к-рая приводит систему (5) к нормальной форме Ряды xj сходятся в нек-рой окрестности нуля, если где но (см. [2]). Впервые нелинейную задачу такого типа решил К. Зигель (С. Siegel, 1942; см. [2], [3]) при более жестком условии: При этом условии и ряд (6) сходится. Условие (2) эквивалентно ограниченности членов ряда (6); оно необходимо для сходимости рядов xj при произвольных аналитических jj. Но пока (1982) неизвестно, что происходит в "щели" между условиями (2) и (6) (см. более сложные резонансные ситуации в [2]). Если условие (2)не выполнено, то между решениями системы (5) и ее нормальной формы (5') может не быть аналитического, гладкого и даже топологич. соответствия. б) Ряды П у а с с о н а. Пусть аналитич. система правые части к-рой разложены в ряды Пуассона вблизи инвариантного тора Х = 0 (т. е. в ряды Тейлора по Xи ряды Фурье по Y), имеет формальное интегральное многообразие
где hj - также ряды Пуассона. Спрашивается, когда это многообразие будет аналитическим (т. е. когда ряды hj будут абсолютно сходиться для достаточно малых | Х| и |ImY|). При этом среди координат xj могут быть и малые параметры, для них lj=0. Впервые такая задача решена А. Н. Колмогоровым [4] для га-мильтоновой системы (8) с тстепенями свободы и одним малым параметром х п (т. е. то+1 = п и ): при условии была доказана аналитичность многообразия (9) с r=m, состоящего из инвариантных торов. Там же для доказательства сходимости рядов Пуассона hj был впервые предложен "метод Ньютона", ставший основным в исследовании нелинейных задач. Условие (10) и его аналог использовались затем в задачах такого же типа (см. [5] - [7]). Условия (2) и (4) здесь также необходимы для сходимости рядов (9) (см. более сложные вырожденные ситуации в [7]). Если эти условия не выполнены, то может не быть аналитического (и даже непрерывного) инвариантного многообразия вида (9). Самое жесткое из ограничений (2), (6), (7) - условие (7) - при v>n-1 выполнено для почти всех (но мере Лебега) векторов Л. Свойства типа (2), (6), (7) для векторов изучаются в теории диофавтовых приближений. Достаточно хорошо изучен двумерный случай. Пусть ql - знаменатель l- йподходящей дроби цепной дроби числа l=l2/l1<0. Тогда условие (6) эквивалентно сходимости ряда а условие (2) - ограниченности его членов. Рассматривались М. з. (1) с переменными векторами (см. [6]). М. з. впервые встретились в задачах небесной механики, и основные линейные задачи были решены в 1884 Г. Брунсом (Н. Bruns). Вообще в Солнечной системе имеется много "острых соизмеримостей" между частотами, следствием к-рых являются М. з. (1). Напр., малый знаменатель 2w1-5w2=0,007..., где w1 и w2 - частоты движения Юпитера и Сатурна соответственно, приводит к появлению больших взаимных возмущений в движении этих планет. Другой пример: щели в поясе астероидов и в кольце Сатурна соответствуют резонансам с частотой возмущающего тела (Юпитера и Мимаса соответственно). Лит.:[1] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1953. т. УЗ, № 5, с. 763-66; [2] Б р ю н о А. Д., "Тр. Моск. матем. об-ва", 1971, т. 25, с. 119-262; 1972, т. 26, с.199-239; [3] 3 и г е л ь К. Л., Лекции по небесной механике, пер. с нем., М., 1959; [4] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1954. т. 98, № 4, с. 527 - 30; [5] М о з е р Ю., Лекции о гамильтоновых системах, пер. с англ., М., 1973; [6] Арнольд В. И., "Успехи матем. наук", 1963, т. 18, в. В, с. 91 - 192; [7] Брюно А. Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, М., 1979. А. Д. Брюно.
Малые И Средние Предприятия (sme´s: Small And Medium Sized Enterprises) — Один из наиболее быстро развивающихся секторов экономики в Западной Европе. Налаживание отношений с предприятиями малого и среднего бизнеса является сегодня актуальной........
Экономический словарь
Малые Предприятия — - предприятия с
численностью работающих: в промышленности и строительстве - до 200 человек, в науке и научном обслуживании - до 100 человек, в других отраслях производственной........
Экономический словарь
Малые Архитектурные Формы — - небольшие сооружения (киоски, фонтаны, беседки, ограды, лестницы, фонари и др.), используемые для дополнения художественной композиции и организации открытых пространств........
Юридический словарь
Артерии Небные Малые — (a. palatinae minores, PNA, BNA, JNA) см. Перечень анат. терминов.
Большой медицинский словарь
Вены Вортикозные Малые — (v. chorroideae minores, JNA) см. Перечень анат. терминов.
Большой медицинский словарь
Вены Сердца Венечные Малые — (v. coronariae cordis minores) см. Перечень анат. терминов.
Большой медицинский словарь
Губы Половые Малые — (labia minora pudendi, PNA, BNA, JNA; син. губы срамные малые) складки кожи, расположенные кнутри от больших половых губ и ограничивающие преддверие влагалища.
Большой медицинский словарь
Губы Срамные Малые — см. Губы половые малые.
Большой медицинский словарь
Зубы Коренные Малые — см. Премоляры.
Большой медицинский словарь
Барсуки Большие И Малые — песчаные пустыни к северу от Аральского м., вКазахстане. Б. Барсуки длиной ок. 200 км, М. Барсуки - ок. 100 км.
Большой энциклопедический словарь
Мышца, Сосочковые Малые — (т. papillares parvi, JNA) см. Перечень анат. терминов.
Большой медицинский словарь
Небные Каналы Малые — (canalcs palatini minores, PNA; canales palatini, BNA, JNA) костные каналы в пирамидальном отростке перпендикулярной пластинки небной кости, открывающиеся отверстиями, через которые проходят........
Большой медицинский словарь
Небные Отверстия Малые — (foramina palatina minora, PNA, BNA, JNA) костные отверстия малых небных каналов, расположенные на основании пирамидального отростка перпендикулярной пластинки небной кости позади........
Большой медицинский словарь
Нервы Небные Малые — (n. palatini minores, PNA) см. Перечень анат. терминов.
Большой медицинский словарь
Подъязычные Протоки Малые — (ductus sublinguales minores, PNA, BNA, JNA; син. Вальтера протоки) выводные протоки долек подъязычной железы, открывающиеся на подъязычной складке слизистой оболочки рта.
Большой медицинский словарь
Почечные Чашки Малые — (с. r. minores) П. ч., охватывающие 1-3 почечных сосочка, собирающие из них выводимую мочу и опорожняющиеся в большие П. ч.
Большой медицинский словарь
Малые Антильские Острова — восточная и южная часть арх. Антильские о-ва вВест-Индии. Включают Виргинские, Наветренные, Подветренные и др. острова,Барбадос. Общая площадь ок. 14 тыс. км2.
Большой энциклопедический словарь
Малые Гималаи — горы к югу от Б. Гималаев. Длина ок. 2000 км.Преобладающие высоты 3000-3500 м. Глубоко расчленены. На западе -листопадные, на востоке - вечнозеленые леса, луга.
Большой энциклопедический словарь
Малые Зондские Острова — южная часть Малайского арх., главным образом вИндонезии. Включает о-ва Бали, Сумба, Сумбава, Флорес, Тимор и др. 128тыс. км2.
Большой энциклопедический словарь
Малые Народные Училища — с 1786 2-годичные начальные учебные заведения длянепривилегированных сословий в губернских и уездных городах России. В1803-04 преобразованы в уездные училища.
Большой энциклопедический словарь
Малые Планеты — (астероиды) - тела Солнечной системы с диаметром от 1 до1000 км. Суммарная масса всех малых планет менее 1/700 массы Земли. Орбитыбольшинства малых планет находятся между........
Большой энциклопедический словарь
Малые Тела — Солнечной системы - спутники планет, малые планеты, кометы,метеорное вещество.
Большой энциклопедический словарь
Малые Формы — в архитектуре - см. Архитектура малых форм.
Большой энциклопедический словарь
Малые Чаны — солоноватое озеро в Новосибирской обл., в Барабинской степи.200 км2, средняя глубина 1,4 м. Впадает р. Чулым. Соединяется протокой соз. Чаны.
Большой энциклопедический словарь
Малые Эвм — (мини-ЭВМ) - малогабаритные ЭВМ малой или среднейпроизводительности. Малые ЭВМ общего назначения применяют главным образомдля решения несложных инженерно-технических........
Большой энциклопедический словарь
Транквилизаторы Малые — см. Транквилизаторы.
Большой медицинский словарь
Ногаи Малые — государственное образование ногайцев на правобережье Волги ив Приазовье, выделилось во 2-й пол. 16 в. из Ногайской Орды. Основатель -мурза Казы (у. 1577). До сер. 18 в. находились........
Большой энциклопедический словарь
Барсуки Большие И Малые — Барсуки́ Больши́е и Ма́лыепесчаные пустыни, расположенные к С. от Аральского моря (Казахстан). Занимают понижения, вытянутые (Бол. Барсуки на 200 км, Мал. на 100 км) с С. на........
Географическая энциклопедия
Малые Антильские Острова — Ма́лые Анти́льские острова́см. Антильские острова.
Географическая энциклопедия
Малые Зондские Острова — Ма́лые Зо́ндские острова́см. Зондские острова.
Географическая энциклопедия
Slovariki 2.0. Знание - сила