- раздел теории чисел. В А. т. ч. включают вопросы распределения простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико-числовых функций, теорию алгебраических и трансцендентных чисел. Распределение простых чисел, а) Одной из интереснейших и труднейших задач А. т. ч. является проблема распределения простых чисел (п. ч.). Первый результат в проблеме распределения п. ч.- теорема Евклида: п. ч. бесконечно много. Пусть (х) - число п. ч., не превосходящих х;тогда теорема Евклида может быть сформулирована так: при . Следующий шаг в этом вопросе был сделан П. Л. Чебышевым (1850). Он доказал, что: 1) Для величины выполняются неравенства причем 2) Если существует предел то этот предел равен 1. Проблему существования последнего предела решили в 1896 Ж. Адамар (J. Hadamard) и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен (Ch. J. La Vallee Poussin), установив тем самым, что Ш. Ж. Ла Балле Пуссен доказал значительно больше, а именно: пусть тогда где - абсолютная постоянная (см. Балле Пуссена теорема). При решении этой проблемы были использованы методы теории функций комплексного переменного. С проблемой оценки тесно связана проблема поведения нек-рой функции комплексного переменного, к-рую впервые (1859) изучал Б. Риман (В. Riemann), и к-рая теперь наз. Рпмана дзета-функцией. Эта функция задается равенством При действительном s дзета-функцию рассматривал еще Л. Эйлер (L. Euler; 1737, 1749) и им было доказано тождество, к-рое указывает на связь с п. ч.: где произведение берется по всем п. ч. Функцию , заданную рядом при , можно аналитически продолжить на всю плоскость комплексного переменного; тогда получится функция, к-рая будет аналитической на всей плоскости комплексного переменного за исклю-.ченпем точки , где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Проблема оценки остатка в асимптотич. формуле распределения п. ч. тесно связана с проблемой распределения нулей в "критической" полосе Б. Риманом была высказана гипотеза, что все нули в критич. полосе лежат на прямой Из этой гипотезы следует, что Наоборот, из соотношения - произвольно мало, следует справедливость Римана гипотезы о нулях Ж. Адамар и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен получили асимптотич. закон распределения п. ч., доказав, что не имеет нулей при . Для величины доказаны так наз. -теоремы: существуют такие две последовательности что б) Другой проблемой теории распределения п. ч. является проблема оценки разности соседних п. ч., то есть числа где есть ге-е простое число. Здесь также первый общий результат принадлежит П. Л. Чебышеву, доказавшему, что между Nи 2N, лежит п. ч. (Бертрана постулат). Оценка тесно связана с функцией - числом нулей в прямоугольнике Функция в свою очередь, тесно связана с функцией Существуют гипотезы: ( плот-ностная гипотеза).и ( Линделёфа гипотеза), - произвольно мало. Из гипотезы Рима-на о нулях следует гипотеза Линделёфа, из гипотезы Линделёфа - плотностная гипотеза, из к-рой следует, что Доказано, что где в) Вопрос о распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях приводит к вопросу о нулях специальных дзета-функций, так наз. L-рядов Дирихле, к-рые имеют вид: - коэффициенты, зависящие от пи от разности прогрессий (характеры Дирихле по mod k). Проблемы распределения нулей L- рядов Дирихле и распределения п. ч. в арифметич. прогрессиях имеют свои специфич. особенности. Одно из самых крупных достижений в этом вопросе - следующее (К. Зигель; К. Siegel, 1935): пусть - число п. ч., не превосходящих в прогрессии Тогда где - Эйлера функция и - произвольные фиксированные числа. Сведения о распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях существенно используются при решении аддитивных задач с п. ч. См. также Распределение простых чисел. Аддитивные проблемы. К аддитивным задачам А. т. ч. относятся проблемы, связанные с уравнениями в целых числах специального вида. Основными вопросами в этой проблематике являются следующие: доказать разрешимость заданного уравнения, найти асимптотич. формулу для числа решений заданного уравнения. Второй вопрос значительно труднее, и положительный ответ на него в нек-ром смысле дает ответ на первый вопрос. Классич. примерами аддитивных задач являются Варинга проблемы, Гольдбаха проблема, Харди - Литлвуда проблема. Проблема Варинга (1770) формулируется так: пусть - число решений в целых положительных числах уравнения где - целое число. Доказать, что существует такое число (k0 зависит только от п), что при Другими словами, доказать, что любое число может быть представлено суммой степеней целых положительных чисел, причем число слагаемых в этом представлении зависит только от п. При n=2 задача была решена Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1770), к-рый доказал, что каждое целое положительное число есть сумма четырех квадратов целых чисел. Первое общее решение проблемы Варинга дано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1909. Позднее, в 1924 Г. X. Харди (G. H. Hardy) и Дж. Литлвуд (J. Little-wood), применив свой круговой метод, доказали, что для при имеет место асимптотич. формула вида: где с - абсолютная константа. А поскольку существует бесконечно много таких чисел N, к-рые для k = n не являются суммой n-x степеней, т. е. то возникла проблема установления истинного порядка величины kв зависимости от п, при к-ром разрешимо уравнение (1) п справедлива формула (2). Самые сильные результаты в этой проблеме принадлежат И. М. Виноградову, к-рый в 1934 доказал, что а) при если б) формула (2) имеет место при Другая классич. аддитивная проблема - проблема Гольдбаха - Эйлера (1742), состоит в следующем: пусть - число решений в простых числах уравнения доказать, что при нечетном будет . В 1937 И. М. Виноградов доказал, что (асимптотич. формула для J(N)). где Отсюда, в частности, следует, что при т. е. решение проблемы Гольдбаха - Эйлера для достаточно больших N. К аддитивным задачам относится проблема Харди - Литлвуда (1923); каждое может быть представлено в виде где - простое число, - целые положительные числа. В 1958 Ю. В. Линндк доказал, что если - число решений этого уравнения, то имеет место асимптотич. формула где - абсолютная константа. Отсюда следует, что при т. е. решение проблемы Харди - Литлвуда для достаточно больших N. Имеется много аддитивных проблем, к-рые еще не решены и имеют возраст сотен и даже тысяч лет. К ним, напр., относятся вопросы о бесконечности числа п. ч. близнецов, т. е. пар п. ч. ри qтаких, что бинарная проблема Гольбаха - Эйлера, т. е., что каждое четное число есть сумма двух п. ч., проблема существования бесконечного числа п. ч. в последовательности вида См. также Аддитивные проблемы. Поведение теоретико-числовых функций. В теории чисел имеется ряд классич. функций: - число чисел, не превосходящих и взаимно простых с п(функция Эйлера), - число делителей числа п, - Мёбиуса функция, - Манголъдта функция и др. Несмотря на то, что каждая из указанных функции ведет себя довольно "неправильно", средние значения этих функций уже поддаются изучению. Под средним значением функции понимают величину Вопрос об оценке среднего значения функции эквивалентен вопросу о границе нулей дзета-функции Рпмана. Вопрос об асимптотике среднего значения функции эквивалентен вопросу об асимптотич. формуле для , т. е. также вопросу о границе нулей дзета-функции Римана. Во всех этих задачах достигнуты те же результаты, что и в проблеме распределения п. ч. Особо стоит вопрос об асимптотике среднего значения или, несколько иначе, вопрос об асимптотич. формуле для суммы значений . Пусть Тогда - число целых точек под гиперболой Таким образом, нахождение асимптотики - это проблема нахождения асимптотики числа целых точек в расширяющихся областях. К этой проблематике относится задача о числе целых точек в круге, т. е. задача о числе х, у - целые числа, п обобщения этих задач на произвольные области как на плоскости, так и в пространстве, П. Дирихле (1849) доказал, что где Задачи нахождения наилучших возможных оценок величин стали наз. соответственно делителей проблемой и круга проблемой. Г. Ф. Вороной (1903) получил а В. Серпиньский ( ) - Кроме того, доказаны -теоремы, а именно, что В настоящее время (1976) получены оценки и несколько лучше, чем у Г. Ф. Вороного и В. Сер-пиньского. Родственной рассмотренным задачам является задача об асимптотике суммы дробных долей различного вида функций или эквивалентная ей задача - вопрос о распределении дробных долей различного вида функций. Обозначим через дробную часть числа Тогда если - вещественная функция, то возникает вопрос об асимптотике следующих двух функций: Если для любого то говорят, что дробные доли функции распределены равномерно. Равномерность распределения дробных долей функции может быть выражена и в терминах асимптотики для . Первые результаты о равномерном распределении дробных долей многочленов, критерии равномерного распределения были найдены Г. Вейлем (Н. Weyl, 1916). Наиболее точные результаты в этих вопросах получены И.
Другое направление этой теории - доказательство трансцендентности чисел. Первые результаты здесь были получены в конце 19 в. Ш. Эрмит (Ch. Hermite, 1873) доказал трансцендентность числа е;Ф. Линдеман (F. Lindemann, 1882) - трансцендентность числа л, и тем самым была отрицательно решена проблема о квадратуре круга. А. О. Гельфонд и Т. Шнейдер (Т. Schneider) в 1934 доказали теорему о том, что является трансцендентным числом, если - алгебраич. число - алгебраич. число степени (седьмая проблема Гильберта). А. Бейкером (A. Baker) начиная с 1967 был получен ряд эффективных теорем об оценке линейных форм от логарифмов алгебраич. чисел. Следствием этих теорем явилось эффективное доказательство теоремы Туэ о числе представлений целого числа формой. Существует много вопросов в теории трансцендентных чисел, к-рые еще ждут своего решения. К ним относятся вопрос о трансцендентности константы Эйлера вопрос об алгебраич. зависимости чисел еи p и др. О некоторых методах в аналитической теории чисел. а) Метод комплексного интегрирования. Он порожден методом производящих функций Эйлера, к-рым часто решаются задачи элементарной математики. Основой служит следующая формула (разрывный множитель): где интеграл берется по прямой Так, при имеем и при получаем Слева стоит Чебышева функция, асимптотика для к-рой эквивалентна проблеме о п. ч. Правая же часть, после выделения главного члена, будет тем меньше, чем левее удастся перенести контур интегрирования. См. также Комплексного интегрирования метод. б) Круговой метод (Харди - Литлвуда - Рамануджана). Он применяется в основном в аддитивных задачах. Рассмотрим схему применения и существо кругового метода в форме тригонометрич. сумм Виноградова на тернарной проблеме Гольдбаха - Эйлера. Пусть - целое число. Тогда имеем (разрывный множитель): Поэтому - число решений в п. ч. уравнения . Далее, интервал интегрирования разбивается на две части - основной интервал и дополнительный: к основному интервалу относят все интервалы вида где к дополнительному интервалу отнесем все остальные. Основные интервалы не пересекаются. Кроме того, для из основного интервала, сумма "близка" к рациональной сумме . Но при "малых" , известен закон распределения п. ч. в прогрессиях с разностью (напр., теорема Зигеля), т. е. известна асимптотика сумм Так выделяется главный член проблемы, и в этом состоит идея кругового метода. Если теперь нетривиально оценить на дополнительных интервалах (см. Виноградова метод), то получится асимптотич. формула в проблеме Гольдбаха - Эйлера. См. также Круговой метод. в) Метод тригонометрических сумм. Большинство задач А. т. ч. может быть сформулировано в терминах тригонометрич. сумм - конечных сумм вида где - действительная функция, а пробегают множество целых чисел в количестве Р. Таким образом, центр тяжести многих проблем переносится на задачу изучения таких сумм, в частности на задачу получения возможно более точной оценки модуля таких сумм. Тривиальной оценкой суммы (3) будет Р. Ставится задача получить оценку типа где наз. понижающим множителем. Первые нетривиальные оценки тригонометрич. сумм, когда - многочлен, а получил Г. Вейль (1919), к-рый одновременно доказал критерий равнораспределенности дробных долей функции в терминах тригонометрич. сумм. Создателем метода тригонометрич. сумм является И. М. Виноградов, к-рый, используя глубокие арифметич. свойства рассматриваемых сумм, получил исключительно сильные оценки модуля широкого класса таких сумм. Это позволило ему получить фундаментальные близкие к предельно возможным результаты в целом ряде вопросов теории чисел (проблема Варинга, Гильберта- Камке проблема, Вейля суммы). Другим следствием метода Виноградова (1937) было решение ряда аддитивных проблем с п. ч. и, в частности, решение проблемы Гольдбаха - Эйлера. Основной идеей метода Виноградова является идея "сглаживания" (возведение в степень тригонометрич. суммы и сведение оценки к теореме о среднем при оценках сумм Вейля; введение двойных тригонометрич. сумм при оценках сумм с п. ч.). См. также Тригонометрических сумм метод. г) Дисперсионный метод и метод большого решета. В 1958- 60 Ю. В. Линником был создан дисперсионный метод для решения целого ряда аддитивных задач теории чисел. Им были решены проблема Харди - Литлвуда, Титчмарша проблема делителей, аддитивная проблема делителей. Основным понятием метода является дисперсия для числа решений уравнения при предполагаемой асимптотике для числа решений нек-рого вспомогательного уравнения, связанного с основным (см. также Дисперсионный метод). В последнее время получены глубокие результаты при помощи метода большого решета Ю. В. Линника, к-рый был создан им в 1940 при решении проблемы о наименьшем квадратичном невычете. д) Методы в теории алгебраических и трансцендентных чисел. При доказательстве теоремы о приближении алгебранч. числа рациональной дробью, А. Туэ (см. Туэ метод).строит многочлен с целыми коэффициентами, где и - тоже многочлены. Допуская, что "хорошо" приближаются дробями и с достаточно большим и , полагая и доказывая, что при не обращается в нуль, получают противоречие. При доказательстве трансцендентности чисел А. О. Гельфонд строит функцию В предположении, что - алгебраич. число, при помощи принципа ящиков Дирихле целые не равные нулю числа выбираются так, что и "много" ее производных имеют "много" нулей. "Большое" количество нулей позволяет получить "хорошие" оценки сверху для "большого" числа производных и точек, а отсюда, при помощи оценок снизу, получаемых из теоремы Лиувилля, следует, что и "много" ее производных имеют больше нулей, чем вначале. Повторение этого процесса приводит к тому, что либо - рациональное число, либо равны нулю, что противоречит их выбору. См. также Алгебраическое число, Трансцендентное число. Лит.:[1] Виноградов И. М., Избр. тр., М., 1952; [2]его же, Основы теории чисел, 7 изд., М., 1965; [3] его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [4] Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; [5] Делове Б. Н., Петербургская школа теории чисел, М.-Л., 1947; [6] Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; [7] Линвик Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [8] Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М.-Л., 1947; [9] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [10] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [11] Титчмарш Е., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [12] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [13] Ваkеr A., "Mathematika", 1967, v. 14, №1(27), p. 102-07; [14] Виноградов А. И., "Изв. АН СССР. Серия матем.", 1965, т. 29, в. 4, с. 903-34; [15] Воmbiеri E., "Mathematiba", 1965, v. 12, №24, p. 201-25. А. А. Карацуба.
Теория — ж. греч. умозренье, умозаключенье; заключенье, вывод из чего-либо, не по явленью на деле, а по выводам своим; противоположное дело, на деле, опыт, практика. не всегда верна;........
Толковый словарь Даля
Теория — теории, ж. (греч. theoria - исследование). 1. учение, являющееся ражением действительности, обобщением практики, человеческого опыта. ..., если она является действительной теорией,........
Толковый словарь Ушакова
Теория Ж. — 1. Обобщение фактов, опыта, знаний, основывающееся на глубоком проникновении в сущность изучаемого явления, вскрывающее его закономерности. 2. Учение о какой-л. области........
Толковый словарь Ефремовой
Исторического Пессимизма Теория — - направление в футурологии международных отношений, которое, в противовес теории технократического оптимизма, исходит из перспективы долгого существования классического........
Политический словарь
Конвергенции Теория — (от лат. convergere - сближаться, сходиться) основана на идее преобладания тенденций объединения элементов в систему над процессами дифференциации, различения и индивидуализации.........
Политический словарь
Мобильности Теория — (от фр. mobile, лат. mobilis - подвижный, способный к быстрому действию) - система идей в социологии и политологии, в которой осмысливаются процессы изменения положения людей........
Политический словарь
Олигархизации Политических Партий Теория — - (от греч. oliarchia - власть немногих) - обоснование характерной тенденции в развитии партии: переход от организации демократического типа к жесткому бюрократическому аппарату........
Политический словарь
Политическая Система Индустриально Развитых Стран (теория) — Политическая система представляет собой совокупность лиц, институтов, участвующих в политическом процессе, неформальных и неправительственных факторов, влияющих........
Политический словарь
Политическая Теория — (POLITICAL THEORY) - массив научной мысли, нацеленной на оценку, объяснение и прогнозирование политических феноменов. Одновременно политическая теория представляет собой раздел........
Политический словарь
Постиндустриального Общества Теория — - широко применяется в западной политологии и социологии для обозначения современного общества. Концепция индустриального общества разрабатывалась в трудах Р.Дарендорфа........
Политический словарь
Теория — - интегрированная совокупность принципов, которые объясняют и предсказывают наблюдаемые явления. (Д. Майерс, с.50)
Политический словарь
Теория Конвергенции — (лат. convergere приближаться, сходиться) - одна из концепций политологии, социологии и политэкономии, усматривающая в общественном развитии современной эпохи преобладающую........
Политический словарь
Теория Нового Институционализма — - направление в американской политологии, возникшее в 1970-е гг. Классики неоинституционализма американские политологи Д.Марч и Д.Олсен в работе "Вновь открывая институты:........
Политический словарь
Теория Партисипаторной Демократии — - теоретики партисипаторной демократии (Дж.Вольф, Ф.Грин, Б.Барбер)остаются верными центральной идее классической теории демократии о способности простых людей управлять........
Политический словарь
Теория Плебисцитарной Демократии — - ее основателем считается М.Вебер. По его мнению, с развитием партий меняется характер политического представительства и политическая организация власти. Политическое........
Политический словарь
Теория Плюралистической Демократии — - концепция, согласно которой политический процесс предоставляет собой борьбу множества социальных, профессиональных, религиозных, местных, национальных или др. группировок,........
Политический словарь
Теория Рационального Выбора — - согласно ее основному положению, главным субъектом политического участия является свободный индивид, стремящийся к максимальной реализации своих интересов и эффективно........
Политический словарь
Теория Социально-когнитивного Научения — (SOCIAL COGNITIVE LEARNING THEORY). Направление персонологии, представленное Бандурой и Роттером, в котором подчеркивается, что поведение является результатом сложного взаимодействия........
Политический словарь
Теория Статусной Перестановки — - концепция, объясняющая политизацию социальных групп в условиях, когда их объективные социально- 285 экономические характеристики не снижаются, но происходит рост статуса........
Политический словарь
Теория Элитарной (элитистской) Демократии — - концепция, согласно которой власть при демократии осуществляется элитами. Отличие демократии от диктатуры состоит в наличии нескольких элит, конкурирующих друг с........
Политический словарь
Амортизационная Теория Страхового Фонда — См. Теория амортизационная страхового фонда
Экономический словарь
Аналитическая Функция Маркетинга — связана с
исследованием (анализом) рынка. Главной задачей А.Ф. является проведение ранжирования (классификации) рынков по мере их значимости для предприятия.
Экономический словарь
Арбитражная Теория Оценки — (arbitrage pricing theory) – теория равновесия на рынке капиталов, основанная на предположении об отсутствии арбитражных возможностей. В соответствии с арбитражной теорией оценки,........
Экономический словарь
Арбитражная Теория Ценообразования — Альтернативная модель определения стоимости основных фондов, разработанная Стивеном Россом и построенная исключительно на арбитражных аргументах.
Экономический словарь
Государственная Теория Денег — См.
Теория денег государственная
Экономический словарь
Группировка, Аналитическая — - статистическая
группировка, предназначенная для изучения взаимосвязей между признаками. А.г. строят по одному из взаимосвязанных признаков, например факторному,........
Экономический словарь
Густав Кассель: Экономическая Теория Как Чистая Теория Цен — Густаву Касселю (1866-1944) всемирную известность принесли его многочисленные произведения и общественная деятельность. Вначале Кассель изучал технические науки, в 1895........
Экономический словарь
Декларативная Теория Признания — - правовая
концепция, отрицающая, что
субъект международного
права возникает лишь в силу акта его признания другими государствами. Согласно этой концепции........
Экономический словарь
Закон Больших Чисел — принцип, по которому частота финансовых потерь определенного вида может быть предсказана с высокой точностью тогда, когда есть большое количество потерь аналогичных видов.
Экономический словарь
Записка Аналитическая — документ, в котором дается краткий анализ существа проблемы и тенденций ее развития, излагаются выводы, даются рекомендации.
Экономический словарь
Slovariki 2.0. Знание - сила