Математическая энциклопедия

Альтернативные Кольца И Алгебры

Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к-ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств: Таким образом, все А. к. составляют многообразие. Термин "А. к." оправдан тем, что в любом таком кольце ассоциатор (дефект ассоциативности) является кососимметрической (альтернативной) функцией своих аргументов. Первым примером А. к. явились Кэли числа, дающие пример альтернативного тела, т. е. А. к. с единицей, в к-ром однозначно разрешимы уравнения ах=b и уа=b для всех bи всех . Альтернативные тела играют существенную роль в теории проективных плоскостей, поскольку проективная плоскость муфангова (т. е. плоскость трансляций относительно любой прямой) тогда и только тогда, когда любое координатизирующее ее тернарное кольцо является альтернативным телом. Если в кольце Rс единицей каждый элемент обратим, и для любых выполняется тождество (или тождество то Rявляется альтернативным телом. Всякое альтернативное тело либо ассоциативно, либо имеет строение Кали - Диксона алгебры, над своим центром. Всякое простое А. к. также либо ассоциативно, либо является алгеброй Кэли - Диксона над своим центром (последняя в этом случае не обязана уже быть телом). Алгебрами Кэли - Диксона исчерпываются за пределами ассоциативных и все примитивные А. к. Всякое первичное А. к. Л, если либо ассоциативно, либо является кольцом Кэлн - Диксона. Многие свойства А. к. весьма сильно отличаются от свойств ассоциативного кольца в аналогичных ситуациях. Так, если Rесть А. к., а Аи В - его правые идеалы, то их произведение А В уже не обязано быть правым идеалом, даже если А - двусторонний идеал в R; но произведение двусторонних идеалов А. к. является его двусторонним идеалом. Различие в случае ассоциативных колец и А. к. сильно проявляется и в том, что в А. к. существуют различные нильпотентности, поскольку произведение элементов, при одной расстановке скобок равное 0, при другой - может быть отлично от 0. Обычно в А. к. используются следующие нильпотентности: разрешимость (кольцо Rназ. разрешимы м индекса т, если существует такое число т, что ),правая нильпотентность (существует такое число п, что где и нильпотентность (существует такое число k, что т. е. произведение любых kэлементов Rравно 0 при любой расстановке скобок). Имеется А. к. разрешимое индекса 3, но не нильпотентное. Правая нильпотентность в А. к. эквивалентна нильпотентности (А. к., правонильпотентное индекса n, нильпотентно индекса Локально, т. е. на конечно порожденных кольцах, все нильпотентности эквивалентны. Теория, устанавливающая достаточные признаки локальной нильпотентности А. к., вполне параллельна соответствующей теории для ассоциативных колец. Это вытекает из следующего факта: пусть Rесть А. к., в к-ром можно выбрать такую систему Sпорождающих, что любые два элемента из Sпорождают нилькольцо; пусть, далее, все ассоциативные гомоморфные образы Rлокально нпль-потентны, тогда R локально нильпотентно. Поэтому если R есть А. к. с тождеством то R локально нильпотентно; если R есть А. а. с тождеством, к-рое не является следствием ассоциативности, и каждый элемент R есть сумма конечного числа нильэлементов, то алгебра R локально нильпотентна. Если речь идет не о локальной, а о глобальной нильпотентности, то ситуация в А. к. отличается от ассоциативной. Так, уже А. к. R с тождеством не обязано быть нильпотентным (даже если его аддитивная группа без кручения). Однако А. к. с тождеством и без элементов порядка в аддитивной группе разрешимо индекса Если R - алгебраич. А. а. с тождественным соотношением, не являющимся следствием ассоциативности (или степени алгебраичности элементов R ограничены в совокупности), то R локально конечномерна. В А. к. имеется аналог Джекобсона радикала:во всяком А. к. R существует максимальный квазирегулярный идеал равный пересечению всех модулярных максимальных правых идеалов. Факторкольцо является J-полупростым, т. е. J(R/J(R))=0; если I есть идеал всякое I-полупростое кольцо аппроксимируется примитивными А. к. (т. е. примитивными ассоциативными кольцами и алгебрами Кэли - Диксона). Имеются аналоги и всех других ассоциативных радикалов (нижнего нильрадикала, локально нильпотентного радикала и т. д.), к-рые обладают теми же основными свойствами, что и в ассоциативных кольцах.
Вартиновом А. к. (то есть в А. к., удовлетворяющем условию минимальности для правых идеалов) R радикал J(R) нильпотентен, нильпотентен и всякий нильподгруппоид мультипликативного группоида R. Кольцо R является артиновым А. к. без нильпотентных идеалов тогда и только тогда, когда R раскладывается в прямую сумму конечного числа полных матричных алгебр (над нек-рыми ассоциативными телами) и алгебр Кэли - Диксона; такое разложение для каждого R единственно с точностью до перенумерации слагаемых. Если R есть А. к., I - его идеал и R удовлетворяет условию минимальности для двусторонних идеалов, содержащихся в I, то I нильпотентен тогда и только тогда, когда для любого гомоморфизма j кольца R в нет идеалов кольца , которые являются простыми кольцами. В А. к. R различаются ассоциативный центр коммутативный центр и центр Если в аддитивной группе R нет элементов порядка 3, то Однако над полем характеристики 3 существуют коммутативные неассоциативные А. а. В первичном А. к. R всегда В любом А. к. R всегда Пусть в А. к. R нет нетривиальных идеалов, тогда: 1) либо либо 2) либо либо 3) если А - правый идеал R, то В то же время над любым полем Fможно построить такое А. к. К с тривиальными идеалами, что но являясь идеалом К, будет ассоциативно коммутативным кольцом, т. е. Из тождеств, выполняющихся в А. к., наиболее известны следующие: (тождества Муфанг); В А. к. с 3 образующими выполняется, кроме того, тождество: В А. к. с более чем 3 образующими тождество (*), вообще говоря, не выполняется, более того, в этих А. к., вообще говоря, Во всяком А. к. без локально нильпотентных идеалов тождество (*) выполнено, т. к. такое А. к. аппроксимируется первичными ассоциативными кольцами и кольцами Кэли - Диксона. Во всяком свободном А. к. Rимеется ненулевой идеал U(R), содержащийся в ассоциативном центре N(R). Свободное А. к. с 3 или более образующими не только содержит делители нуля, но и не является первичным. Свободное А. к. с 4 или более образующими содержит даже тривиальные идеалы и поэтому не аппроксимируется первичными кольцами. Лит.:[1] Дорофеев Г. В., "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, № 3, с. 147-50; [2] Жевлаков К. А., "Алгебра и логика", 1966, т. 5, № 3, с. 11-36; [3] его же, там же, 1969, т. 8, № 4, с. 425-39;[4] Ширшов А. И., "Матем. сб.", 1957, т. 41, с. 381-94; [5] Kleinfeld E., "Ann. Math" 1953, v. 58, № 3, p. 544-547; [6] его же, там же, 1957, т. 06, № 3, р. 395-99; [7] Скорняков Л. A., "Rend. mat. e applic.", 1965, v. 24, №3-4, р. 360-72 [8] Slatеr М., "J. Algebra", 1968, v. 8, № 1, p. 60-76; [9] Дорофеев Г. В., "Сиб. матем. ж.", 1963, т. 4, № 5, с. 1029-48. К. А. Жевлаков.


Смотреть значение Альтернативные Кольца И Алгебры в других словарях

Кольца Мн. — 1. Гимнастический снаряд из двух подвешенных обручей.
Толковый словарь Ефремовой

Альтернативные Выборы — - избрание лица в какой-нибудь орган из двух или более конкурирующих между собой претендентов.
Политический словарь

Альтернативные Движения — - общественно-политические движения нетрадиционного типа, отличающиеся по форме и методам деятельности от существующих организаций, проповедующие идеи инакомыслия.
Политический словарь

Альтернативные Выборы — - избрание должностного лица в какой-либо орган из двух или большего числа конкурирующих между собой кандидатов на
должность.
Экономический словарь

Альтернативные Издержки — Издержки, которые может понести
собственник ресурса, выбирая конкретный вариант его использования и, тем самым, отвергая все имеющиеся альтернативы. Численно определяются........
Экономический словарь

Альтернативные Инвестиции — - инвестиции, альтернативные недвижимости и ценным бумагам: предметы искусства, марки, старинные монеты и т.д.
Экономический словарь

Альтернативные Ипотечные Инструменты — Варианты ипотечных инструментов, такие как закладные с регулируемой и переменной ставкой (Adjustable-rate and variable-rate mortgages).
Экономический словарь

Альтернативные Оценки Макроэкономических Показателей — -
группа методов оценки теневой экономики, основанная на использовании косвенных данных для
расчета реального
объема ВВП с последующим
определением........
Экономический словарь

Депозиты На Имена Двух Лиц, Альтернативные — ALTERNATE DEPOSITSДепозиты, открытые на имена двух лиц, разделяемых союзом `или`, напр. Джон или Мэри Доу. Такие депозиты, открытые на двух клиентов и выплачиваемые в пользу одной........
Экономический словарь

Издержки Альтернативные — OPPORTUNITY COSTСопоставление издержек по какой-либо статье или
статьям расходов приемлемой альтернативой. А.и. используются преимущественно на стадии принятия решения,........
Экономический словарь

Издержки Альтернативные (opportunity Cost) — принцип, согласно которому разумный
инвестор не заплатит за конкретный
объект собственности больше, чем за обладающую такой же привлекательностью замену, вне........
Экономический словарь

Издержки Капитала Альтернативные — прибыль, которая могла быть получена в результате использования альтернативных источников дохода.
Экономический словарь

Издержки Капитала, Альтернативные — -
вмененные издержки, представляющие собой упущенный
доход, который мог бы быть получен, если бы
капитал предприятия был бы использован альтернативным способом........
Экономический словарь

Инвестиции, Альтернативные — - помещение капитала (в отличие от обычного - в недвижимость) в предметы искусства, марки, старинные монеты и т.п.
Экономический словарь

Цена Шанса; Упущенная Выгода; Альтернативные Издержки — В общем значении: максимальный доход, который мог бы быть получен в случае иного хода событий. Корпорационные финансы: понятие, широко использующееся в планировании........
Экономический словарь

Opportunity Costs (альтернативные Издержки) — Выгода, потерянная вследствие неиспользования экономического ресурса в наиболее доходной из всех возможных видов деятельности. Например, для самостоятельно работающего........
Экономический словарь

Альтернативные Виды Топлива — - виды топлива (сжатый и сжиженный газ, биогаз, генераторный газ, продукты переработки биомассы, водоугольное топливо и другие), использование которого сокращает........
Юридический словарь

Альтернативные Выборы — - см. Выборы альтернативные.
Юридический словарь

Альтернативные Формы Воспитания Детей-сирот И Детей, Оставшихся Без Опеки Родителей — представляют собой размещение (устройство) детей в родственные семьи или при отсутствии такой возможности в принимающие семьи (патронат/приемная семья, усыновление)........
Юридический словарь

Выборы Альтернативные — - избрание должностного лица в какой-либо орган из двух или большего числа конкурирующих между собой кандидатов.
Юридический словарь

Вимбергера Кольца — (Н. Wimberger, совр. австрийский рентгенолог; син. Вимбергера признак) эксцентрически расположенные просветления в области рентгеновских теней эпифизарных ядер окостенения,........
Большой медицинский словарь

Альтернативные Топлива — получают в основном из сырья ненефтяногопроисхождения, применяют для сокращения потребления нефти. Главные видыальтернативного топлива: сжиженные и сжатые горючие........
Большой энциклопедический словарь

Донецкого Кольца — (Д. А. Донецкий, сов. хирург) металлические кольца с крючками, используемые при наложении сосудистого анастомоза.
Большой медицинский словарь

Кебота Кольца — (R. С. Cabot, 1868-1939, амер. врач) морфологические образования в эритроцитах в форме кольца, восьмерки или скрипичного ключа, являющиеся, вероятно, остатками ядерной оболочки;........
Большой медицинский словарь

Височные Кольца — бронзовые, серебряные, золотые женские украшения,вплетавшиеся в волосы у висков. Известны с бронзового века, былираспространены у восточных славян в средние века.
Большой энциклопедический словарь

Годичные Кольца — у растений - слои прироста древесины, образованныекамбием в результате сезонной периодичности его деятельности. Видны наспиле ствола дерева. Позволяют определять........
Большой энциклопедический словарь

Кольца — гимнастические - 2 металлических кольца, покрытые деревом (толщина2,8 см, внутренний диаметр 18 см), подвешены на высоту (от пола) не св.255 см, расстояние между кольцами 45-50 см.
Большой энциклопедический словарь

Кольца Сатурна — яркие плоские концентрические кольца вокруг планетыСатурн (обозначаются буквами от А до G, кольца E, F, G открыты скосмических аппаратов), образованы множеством отражающих........
Большой энциклопедический словарь

Симптом Роговичного Кольца — (син. Кайзера-Флейшера кольцо) желтовато-зеленая или зеленовато-коричневая пигментация по периферии роговицы; признак гепатоцеребральной дистрофии, обусловленный........
Большой медицинский словарь

Синдром Эзофагеального Кольца — сочетание загрудинной боли, изжоги, отрыжки, рвоты (с примесью крови) и скрытых пищеводных кровотечений, обусловленное желудочно-пищеводным рефлюксом при грыже пищеводного........
Большой медицинский словарь

Посмотреть еще слова :