потоки на торе,- класс динамических систем. Примером может служить поток, порожденный групповыми сдвигами тора (как Ли группы )на элементы к.-л. однопараметрич. подгруппы тора. В терминах "угловых", или "циклических", координат на торе, отсчитываемых по модулю 1 (их можно рассматривать как обычные координаты в евклидовом пространстве Rn, из к-рого тор Т п получается как факторгруппа по целочисленной решетке Z п), этот поток описывается так: за время tточка х=( х 1,. . ., х п )переходит в точку где w=(w1, . . ., wn) - набор так наз. базисных частот. Все траектории этого потока являются квазипериодическими функциями времени; их свойства определяются арифметич. свойствами базисных частот. Так, траектории периодичны, если все wi кратны одному и тому же числу. В другом крайнем случае, когда wi линейно независимы над Z (т. е. никакая нетривиальная линейная комбинация с целыми ki не равна нулю), каждая траектория всюду плотно заполняет тор (говорят об иррациональной обмотке тора), а поток эргодичен (по отношению к Хаара мере на Т n;. мера Хаара естественным образом получается из меры Лебега в Rn при факторизации по Z п и сохраняется при сдвигах Tt). и даже строго эргодичен; его спектр дискретен. Подобные потоки часто возникают в различных вопросах. Напр., для интегрируемых гамильтоноеых систем"типичные" финитные (т. е. остающиеся в конечной области фазового пространства) движения приводят как раз к ним (соответствующие торы суть многообразия уровня системы первых интегралов, см. [8]). Обычно такие инвариантные торы с иррациональными обмотками имеются также и у гамильтоновых систем, достаточно близких к интегрируемым (этот вопрос тесно связан с малыми знаменателями). Для двумерного тора T2 А. Пуанкаре (Н. Poincare, [1]), А. Данжуа [2] (см. также [3]) и X. Кнезером ([4], модифицированное изложение см. в [5], [6]) полностью выяснены возможные типы качественного поведения траекторий потоков без положений равновесия. (Из всех замкнутых поверхностей только на торе и Клейна поверхности возможны такие потоки, причем изучение потоков на последней в основном сводится к изучению потоков на торе, являющемся ее двулистной накрывающей поверхностью). Об этих потоках известно следующее. Если на поверхности имеется двусвязная область ("кольцо Кнезера",) к-рая ограничена двумя замкнутыми траекториями и внутри к-рой траектории свиваются с одной из них и навиваются на другую в противоположном направлении (см. рис.), то качественное поведение траекторий на поверхности напоминает поведение траекторий в ограниченной области на плоскости. В частности, все непериодич. траектории в обе стороны по времени стремятся к периодическим. Более интересен случай (возможный лишь на торе), когда колец Кнезера нет; это эквивалентно существованию замкнутой трансверсали L(т. е. замкнутой кривой, нигде не касающейся векторного поля), к-рую каждая траектория пересекает бесконечное число раз. На Lопределено отображение исследования S- гомеоморфизм, переводящий точку в первую по времени точку пересечения проходящей через хположительной полутраектории с L. Характеристикой каскада на Lслужит число вращения Пуанкаре a. (см., например, [3]. Оно отчасти зависит от конкретного выбора L; совершенно инвариантной характеристикой исходного потока является асимптотический цикл [14]). Согласно теореме Данжуа, если S- класса С 2 (что гарантировано при соответствующей гладкости трансверсали и исходного потока на торе) и a. иррационально, то Sтопологически сопряжен с поворотом окружности на угол 2pa, т. е. на Lможно так ввести циклич. координату х, что Sпредставится в виде mod 1. (Если S- класса С 1, то это не обязательно так, см. [2].) Тогда разбиение тора на траектории с точностью до гомеоморфизма является таким же, как и в случае (1) (однако это не относится к скорости движения по ним). Гладкость замены координат, гарантируемая теоремой Данжуа, зависит (помимо гладкости S)от арифметических свойств числа вращения а. При почти всех а из следует, что замена координат принадлежит классу С n-2 [9], но для чисел вращения, очень быстро приближающихся рациональными числами, замена координат, вообще говоря, не гладкая, даже если преобразование Sаналитическое (см. [7]). Если исходный поток на Т 2 имеет интегральный инвариант, то колец Кнезера быть не может, a S(независимо от рациональности или иррациональности а) гладко сопряжено с поворотом окружности; таким образом, при отсутствии положений равновесия на торе существуют циклич. координаты х, у того же класса гладкости, что и сам поток, в к-рых последний принимает вид: (здесь a- число вращения, отвечающее замкнутой трансверсали х=const). При достаточной гладкости f и надлежащих свойствах aпоток (2) можно привести к (1) (с n=2 и w=(1, a)) посредством нек-рого диффеоморфизма, в общем же случае это не всегда возможно, и даже эргодические свойства потока (2) могут отличаться от свойств потоков (1) (возможен непрерывный спектр, хотя перемешивание в гладком случае невозможно). См. [10] (опущенные доказательства восстановлены в [11], [12]) и [13]. Лит.:[1] Пуанкаре А., О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, пер. с франц., М.- Л., 1947; [2] Denjоу A., "J. math, pures et appl.", ser. 9, 1932, t. 11, № 4, p. 333-75; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Knescr H., "Math. Ann.", 1924, Bd 91, № 1-2, S. 135-54; [5] Eeinhart В. L., "Amer. J. Math." 1959, v. 81, № 3, p. 617-31; [6] Aepplу А., Маrkus L. "Amer. J. Math.", 1963, v. 85, JVi 4, p. 633-54; [7] Apнольд В. И., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1961, т. 25, № 1, с. 21-86: [81 е г о же, "Сиб. матем. ж.", 1963, т. 4, № 2, с. 471-74; [9] Herman M. R., "С. г. Acad. sci.", 1976, t. 283, №8, p. 579 - 82; [10] Колмогоров А. Н., "Докл. АН СССР", 1953, т. 93, № 5, с. 763-66; [11] Sternberg S., "Amer. J. Math.", 1957, v. 79, № 2, p. 397-402; [12] Шкловер М. Д., "Изв. ВУЗов. Математика", 1967, № 10, с. 113-24; [13] Кочергин А. В., "Докл. АН СССР", 1972, т. 205, № 3, с. 515-18; [14] Schwartzman S., "Ann. Math.", 1957, v. 66, JN5 2, p. 270-84. Д. В. Аносов.
Дифференциальные Затраты — (Differential Cost)
Разница между затратами, ожидаемыми при выборе определенного хода действий, и затратами в случае выбора альтернативного хода действий; один из инструментов........
Экономический словарь
Дифференциальные Ренты — Прибыль, превышающая
уровень конкурентоспособности.
Экономический словарь
Затраты Дифференциальные — дополнительные, приростные
затраты, связанные с малым объемом производства.
Экономический словарь
Уравнения Слуцкого — уравнение,
смысл которого состоит в том, что
изменение
спроса на некоторый
товар при повышении или снижении его
цены складывается из влияния непосредственного........
Экономический словарь
Диофантовы Уравнения — алгебраические уравнения или их системы с целымикоэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений,и у которых разыскиваются целые или рациональные решения.
Большой энциклопедический словарь
Коши Римана Уравнения — дифференциальные уравнения с частнымипроизводными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую частианалитической функции комплексного переменного : Эти уравнения........
Большой энциклопедический словарь
Лоренца Максвелла Уравнения — (Лоренца уравнения) - фундаментальныеуравнения классической электродинамики, определяющие микроскопическиеэлектрические и магнитные поля, создаваемые отдельными........
Большой энциклопедический словарь
Максвелла Уравнения — основные уравнения классической макроскопическойэлектродинамики, описывающие электромагнитные явления в произвольныхсредах и в вакууме. Уравнения Максвелла получены........
Большой энциклопедический словарь
Навье Стокса Уравнения — дифференциальные уравнения движения вязкойжидкости или газа. Названы по имени А. Навье и Дж. Г. Стокса.
Большой энциклопедический словарь
Равносильные Уравнения — уравнения, имеющие одно и то же множество корней(в случае кратных корней нужно, чтобы кратности соответствующих корнейсовпадали). Так, из трех уравнений , 3х - 7 = 5, (х -........
Большой энциклопедический словарь
Совместные Уравнения — система уравнений, для которых существует системазначений неизвестных, удовлетворяющая всем данным уравнениям.
Большой энциклопедический словарь
Уравнения Математической Физики — дифференциальные уравнения с частнымипроизводными, интегральные уравнения, к которым приводит математическийанализ физических явлений. См., напр., Волновое уравнение,........
Большой энциклопедический словарь
Уравнения Химические — запись химической реакций при помощи химическихформул и численных коэффициентов. В левой части уравнений химическихзаписываются формулы исходных веществ, в правой........
Большой энциклопедический словарь
Химические Уравнения — см. Уравнения химические.
Большой энциклопедический словарь
Дифференциальные Тесты Способностей — (Differential Aptitude Tests, DAT) Д. т. с. - комплексная батарея из восьми тестов, предназначенная для использования в образовательном и профессиональном консультировании уч-ся........
Психологическая энциклопедия
Структурные Уравнения — - метод моделирования отношений между несколькими переменными - зависимыми (далее - ЗП) и независимыми (далее - НП), измеренными и латентными, непрерывными и дискретными,........
Социологический словарь
Уравнения Регрессии — - англ. regression equations; нем. Regressionsgleichung. Числовое соотношение между величинами, выраженное в виде тенденции к возрастанию (или убыванию) одной переменной величины при возрастании........
Социологический словарь
Количества Движения Уравнения В Аэро- И Гидродинамике — фундаментальная система уравнений, выражающая в интегральной или дифференциальной форме закон сохранения импульсов.
Интегральная форма К. д. у. (см. Сохранения законы)........
Энциклопедия техники
Лагранжа Уравнения — в аэро- и гидродинамике (по имени Ж. Л. Лагранжа) — система трёх уравнений, выражающая закон сохранения импульсов (см. Сохранения законы) при движении идеальной жидкости,........
Энциклопедия техники
Навье — Стокса Уравнения — (по имени Л. М. А. Навье и Дж. Стокса) — фундаментальная система уравнений аэро- и гидродинамики, выражающая в дифференциальной форме закон сохранения количества движения;........
Энциклопедия техники
Осеена Уравнения — Осена уравнения (по имени шведского учёного К. В. Осена (С. W. Oseen), — описывают медленные стационарные течения сильно вязких жидкостей. Получаются линеаризацией Навье........
Энциклопедия техники
Уравнения Движения Летательного Аппарата — Обычно при анализе движения ЛА его рассматривают как абсолютно жёсткое тело. В этом случае в У. д. можно выделить две группы уравнений: У. д. центра масс (ЦМ) и У. д. относительно........
Энциклопедия техники
Уравнения Существования Ла — уравнения компоновки ЛА, — система уравнений и неравенств относительно проектных переменных, являющаяся математической формой условий физической реализуемости проекта.........
Энциклопедия техники
Дифференциальные виды — Дифференциальные виды (от лат. differentia - разность) - виды-детерминанты, отличающие своим присутствием разные субассоциации. Так, в ассоциации Fagetum........
Экологический словарь
НИШИ ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ — НИШИ ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ экологические ниши популяций в экосистемах с большим видовым разнообразием, обусловленным значительными........
Экологический словарь
УРАВНЕНИЯ ЛОТКИ-ВОЛЬТЕРРЫ — УРАВНЕНИЯ ЛОТКИ-ВОЛЬТЕРРЫ модельные уравнения, предложенные А. Лоткой и В. Вольтеррой независимо друг от друга в 1925 и 1926 гг., которые могут быть........
Экологический словарь
УРАВНЕНИЯ МЕЖВИДОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ — УРАВНЕНИЯ МЕЖВИДОВОЙ КОНКУРЕНЦИИ предложенные А. Лоткой (1925) и В. Вольтеррой (1926, 1931) уравнения для математического анализа межвидовой конкуренции:........
Экологический словарь
УРАВНЕНИЯ РОЖДАЕМОСТИ — УРАВНЕНИЯ РОЖДАЕМОСТИ см. Уравнение Эдмонсона и Уравнение Пегрусевина.
Экологический словарь
УРАВНЕНИЯ РОСТА — УРАВНЕНИЯ РОСТА дифференциальные уравнения роста популяции в нелимитированной (См. Уравнение Лотки) и лимитированной (см. Уравнение Ферхульста-Пирла) средах.
Экологический словарь
Slovariki 2.0. Знание - сила