арифметическая алгебраическая геометрия,- направление в алгебраич. геометрии, изучающее свойства алгебраич. многообразий, определенных над полями так наз. арифметического типа, т. е. конечными, локальными и глобальными полями алгебраич. чисел или алгебраич. функций. В случае конечных полей основным является изучение числа рациональных точек алгебраич. многообразия в этих полях н их конечных расширениях. Используемая для такого изучения дзета-функция многообразия оказала большое влияние на развитие методов алгебра-нч. геометрии. Большое значение имеют также оценки числа точек снизу (см. [1], [4]). Если X - алгебрапч. многообразие (или схема) над локальным полем К с полем вычетов k, то рассмотрение множества рациональных точек со значениями в А' позволяет связать две совершенно различные задачи: нахождение решений сравнений (пли точек многообразий над конечными нолями) и целочисленных или рациональных решений дпофантовых уравнений (см. Хассе принцип). Задавая многообразие Xсистемой уравнений с коэффициентами из кольца Ацелых элементов поля K, можно определить редукцию этого многообразия той же системой уравнений, но с коэффициентами, взятыми по модулю максимального идеала кольца А. Получаются "многообразие" над полем вычетов kи канонич. отображение, или редукция: Приведенное описание редукции трудно объяснить в рамках классич. алгебраич. геометрии. Это явилось одной из причин введения понятия схем, на языке к-рых описанный процесс допускает строгое определение. Основная задача состоит в определении образа отображения Red, т. е. в нахождении тех точек к-рые поднимаются до рациональных K-точек многообразия; Гензеля лемма утверждает, что это так, если - неособая точка. Наиболее общие результаты об этом см. [4].
Другим кругом вопросов, относящихся к локальной А. м. а., является изучение форм над такими полями. Пусть -форма от переменных степени над локальным полем; гипотеза Артина утверждает, что при уравнение имеет нетривиальное решение. В функциональном случае справедливость этого утверждения известна. Для -адпческих полей доказано, что для каждого имеется такое конечное число простых , что гипотеза Артина верна для форм степени d;если . В 1966 было показано, что уже множество A(L).не пусто, тем самым гипотеза Артина была опровергнута (см. [4]). Неизвестно (1977), верна ли она для форм нечетной степени. А. м. а. над глобальными полями представляет собой наиболее обширную и разветвленную область алгебраич. геометрии. Сюда относятся диофантова геометрия, теория полей классов, теории дзета-функций многообразий, комплексное умножение абелевых функций (или многообразий). Все эти теории развиваются параллельным образом для числовых и функциональных полей. Впервые такая возможность была продемонстрирована развитием теории полей классов в 30-х гг. 20 в., она основана на глубокой аналогии между этими полями, получившей наиболее полное воплощение в конструкциях теории схем. Лит.: [1] Боревич 3. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Вейль А., "Математика", 1958, т. 2, № 4; [3] Grothendieck A., Dieudоnnе J., Elements de geometric algebrique I, B., 1971; [4] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1970, М., 1971, с. 111 -152; [5] Swinnеrtоn - Dуеr Н. Р. Р., в кн.: Proceedings of Symposia in pure mathematics, v. 20, 1969, Providence, 1971. A. H. Паршин.
Арифметика — ж. греч. учение о счете, наука о счислении; основа всей математики (науки о величинах, о измеримом); стар. счетная или цифирная мудрость; счет, счисление, цифирная сметка,........
Толковый словарь Даля
Арифметика — арифметики, мн. нет, ж. (греч. arithmetike). Учение о числах, выражаемых цифрами, и действиях над ними.
Толковый словарь Ушакова
Арифметика Ж. — 1. Раздел математики, изучающий простейшие свойства чисел, способы их записи и действия над ними. 2. Учебный предмет, содержащий основы данного раздела математики. 3. разг.........
Толковый словарь Ефремовой
Арифметика — -и; ж. [греч. arithmos - число].
1. Раздел математики, занимающийся изучением простейших свойств чисел и производимых над ними действий.
2. Разг. Подсчёты, расчёты, вычисления.........
Толковый словарь Кузнецова
Арифметика — , способ расчета при помощи сложения, вычитания, умножения и деления. Формальную аксиоматическую базу под эти операции подвел Джузеппе Пеано в конце XIX в. Исходя из некоторых........
Научно-технический энциклопедический словарь
Арифметика — (от греч. arithmos число) - часть математики; изучаетпростейшие свойства чисел, в первую очередь натуральных (целыхположительных) и дробных, и действия над ними. Развитие........
Большой энциклопедический словарь
Арифметика Политическая — - англ. arithmetics, political; нем. Arithmetik, politische. Наука о структуре народонаселения и его естественных изменениях (У. Петти).
Социологический словарь
АРИФМЕТИКА — АРИФМЕТИКА, -и, ж. 1. Раздел математики, изучающий простейшие свойства чисел, выраженных цифрами, и действия над ними. 2. перен. То же, что подсчет (во 2 знач.) (разг.). Проверили........
Толковый словарь Ожегова
Slovariki 2.0. Знание - сила