- раздел алгебры, к-рый в основном занимается изучением К-функторов по существу - это часть общей линейной алгебры. Она имеет дело со структурной теорией проективных модулей и их групп автоморфизмов. Упрощенно, это - обобщение результатов о существовании и единственности (с точностью до автоморфизма) базиса векторного пространства и других общих теоретико-групповых фактов о линейных группах над полями. При переходе от поля к произвольному кольцу Rэти теоремы, как правило, уже неверны, а группы Гротен-дика и Уайтхеда в нек-ром смысле, являются мерой отклонения от их истинности. Аналогичные обобщения структурных теорем линейной алгебры возникают и в топологии. Векторное пространство можно рассматривать как частный случай векторного расслоения. Гомотопич. теория векторных расслоений и топологич. К-теория делают возможными рассмотрения такого рода. Существенную роль играет тот факт, что проективный модуль можно рассматривать как модуль сечений векторного расслоения. Это объясняет выбор именно класса проективных модулей в качестве объекта теории. В А. К- т . широко используются теория колец, гомологич. алгебра, теория категорий и теория линейных групп. А. K-т. имеет два различных историч. источника, оба лежащих в геометрии. Первый связан с нек-рыми топологич. препятствиями. Исходным пунктом было введение понятия Уайтхеда кручения, связанного с гомотоппч. эквивалентностью конечных комплексов и лежащего в группе Уайтхеда, являющейся нек-рой факторгруппой группы - целочисленное групповое кольцо фундаментальной группы П. Следующий шаг связан с рассмотрением топологич. пространства X, доминируемого конечным комплексом, и его обобщенной эйлеровой характеристики лежащей в группе Вычисление групп Уайтхеда и L-групп, являющееся в принципе алгебраич. задачей о групповых кольцах, и было одной из первых целей А. К-т. К 2 и другие высшие функторы имеют топологич. приложения такого же типа (напр., препятствие для деформации псевдоизотопии замкнутого многообразия в изотонию лежит в нек-рой факторгруппе группы . Алгебраич. изучение группы Уайтхеда началось в 40-х гг. 20 в. Сюда же примыкает изучение структуры линейных групп над произвольными кольцами, в частности теория определителей над телами (см. [10]). Второй источник А. К- т .- алгебраич. доказательство А. Гротендиком (A. Grothendieck) в 1957 теоремы Римана - Роха (см. [7]) и ее обобщений. В этом доказательстве был введен K-функтор К(Х).как группа значений универсальной аддитивной функции на когерентных пучках на гладком алгебраич. многообразии. Впрочем, хорошо известные ранее кольца представлений, Битта кольца классов квадратичных форм и т. п. являются родственными конструкциями. Затем К-функтор был перенесен в топологию, где нашел многочисленные применения, сделав возможным решение многих недоступных ранее задач. Кроме того, выяснилось, что эта конструкция открывает новые перспективы в понимании старых проблем анализа (вопрос об индексе эллиптических операторов), топологии (экстраординарные теории гомологии), теории представлений групп. Развитию А. K-т. для колец (начавшемуся с установления соответствия (аналогии) между проективными конечно порожденными модулями и векторными расслоениями) препятствовало, однако, отсутствие в алгебре адекватного аналога понятия надстройки в топологии. В 50 -60-х гг. 20 в. подверглись систематич. изучению проективные модули над конечными группами, была развита одна-из важнейших идей, лежащая в основе А. K-т.,- идея "стабилизации", состоящая, грубо говоря, в том, что общие закономерности проявляются более отчетливо при переходе к пределу по размерности рассматриваемых объектов (напр., линейных групп или проективных модулей). Были обнаружены связи А. K-т. с взаимности законами в теории алгебраич. чисел и алгебраич. функций, исследованы вопросы, связанные с конгруэнц-подгруппами, получен алгебраич. аналог Ватта теоремы периодичности - теория полиномиальных расширений. Для кольца R с единицей группа Гротендика K0(R).определяется как абелева группа, образующими к-рой служат классы изоморфных конечно порожденных проективных Я-модулей, с определяющими соотношениями где - класс модулей, изоморфных модулю Р. Пусть - полная линейная группа над вложение - прямой предел групп - подгруппа в порожденная элементарными матрицами т. е. матрицами с элементом на г, ;'-м месте, и совпадающая с единичной матрицей на остальных местах. Тогда Е(R).совпадает с коммутантом группы СL(R). Факторгруппа GL(R)/E(R). обозначается через K1(R).и наз. группой Уайтхеда. Наконец, группа Стейнберга при определяется в образующих соотношениями Переходя к прямому пределу, получают группу и естественный гомоморфизм при к-ром Ядро ker обозначается через (группа Милнора). Оно совпадает с центром группы St(R). Таким образом, - функторы из категории колец в категорию абелевых групп. Каждый из функторов K0 и K1 может быть охарактеризован как функтор, сопоставляющий конечно порожденному проективному модулю абелеву группу, удовлетворяющий нек-рым свойствам и универсальный относительно этих свойств. Такая "универсальная" характеризация позволяет определить аналог функторов K0 и K1 на "достаточно хороших" категориях. В частности, для категории нётеровых R-модулей получаются весьма близкие к Ki-(R) функторы G i -(R). Примеры групп Ki(R). Если R - тело, - его мультипликативная группа, то - группа целых чисел, - циклич. группа 2-го порядка. Если R - конечное поле, то K2(R) = 0. Важным результатом в А. K-т. является точная последовательность Майера- Вьеториса для декартова квадрата. Именно, если диаграмма - декартов квадрат гомоморфизмов колец, в к-ром - эпиморфизм, то точна последовательность причем, если также эпиморфизм, то последовательность дополняется членами Если I - двусторонний идеал кольца R, то последовательность Майера - Вьеториса позволяет (см. [8]) определить относительные функторы Ki -(R, I), дающие точную последовательность Достаточно полно исследован вопрос о поведении K- функторов при переходе от кольца R к его локалнза-цпл по центральной мультипликативно замкнутой системе. В частности, при соответствующих условиях на кольцо Rдля функтора С 0(R) получена точная последовательность
Если кольцо Rкоммутативно, то группа K0(R).превращается в кольцо с единицей путем введения умножения, индуцируемого тензорным произведением модулей. Существует расщепляющийся эпиморфизм кольца на кольцо непрерывных целочисленных функций (кольцо рассматривается в дискретной топологии) на спектре кольца R. Ядро этого гомоморфизма обозначается Известно, что . является нильрадикалом кольца K0(R), причем если R- нётеро-во и размерность его максимального спектра равна то Если же эта размерность не превосходит 1, то группа изоморфна Пикара группеPic (K). Для колец арифметич. типа существуют теоремы конечности для функторов Ki (R).и Gi (R). Именно, если Аявляется кольцом целых чисел или кольцом многочленов над конечным полем, a Rявляется R-порядком и одновременно Я-решеткой в полупростой конечномерной алгебре над полем частных кольца А, то группы конечно порождены (i= 0, 1). Развитию А. А-т. способствовали исследования по проблеме конгруэнц-подгрупп: каждая ли подгруппа конечного индекса в арифметич. группе содержит некоторую конгруэнц-подгруппу? Этот вопрос тесно связан с проблемой вычисления группы для идеалов Из результатов о стабильном строении проективных модулей следует отметить теорему: если R - коммутативное нётерово кольцо, максимальный спектр к-рого имеет размерность d,a A - конечномерная R-алгебра, то любой конечно порожденный проективный А-модуль Ртакой, что для всех максимальных идеалов ткольца Rизоморфен (здесь - локализация модуля ). Другой важной теоремой о строении проективных модулей является теорема о сокращении: пусть кольца R, А и модуль Р - такие же, как выше, Q-конечно порожденный проективный А-модуль и М, N - произвольные А-модули. Тогда из следует С вопросами стабильного строения проективных модулей тесно связан стабильный ранг кольца R. Напр., если R - коммутативное кольцо стабильного ранга меньше d, то В связи с теорией индуцированных представлений групп изучались функторы Ki от групповых колец. Один из результатов этого направления: если G - конечная группа порядка пи С - семейство циклич. подгрупп группы G, то показатель подгруппы в группе при i=0, 1, 2 делит п. О полиномиальных расширениях колец известно, что если R - регулярное кольцо, то Кроме того, для произвольного кольца R точна последовательность Одним из результатов о вычислении функтора является теорема Мацумото: если R - поле, то группа задается образующими (взаимно однозначно сопоставленным всем ненулевым элементам аполя R) и соотношениями при В 70-х гг. 20 в. появились многочисленные варианты определения функторов при Было доказано [9] совпадение этих теорий, дающих классич. функторы при В ряде случаев найдены эффективные средства вычисления высших K-групп. Начала развиваться унитарная K-теория (см. [9], т. 3), изучающая аналогичные вопросы для модулей, на к-рых определены квадратичные и билинейные формы. Лит.:[1] Атья М., Лекции по А-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Bass H., Topics in algebraic A-theory. Tata institute of Fundamental research, Bombay, 1966; [3] Басс Х., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973; [4] Swan R. G., Algebraic K-theory, В.-Heidelberg-N.Y., 1968; [51 Swan Д. G., Evans E. G., A'-theory finite groups and orders, B.-Heidelberg-N.Y., 1970; [6] Algebraic A'-theory and its Geometric Applications, B.-Heidelberg-N.Y., 1969; [7] Maнин Ю. И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, в. 5, с. 3-86; [8] Ми л нор Дж., Введение в алгебраическую А-теорию. пер. с англ., М., 1974; [9] Algebraic K-theory, v. I-III, В.- Heidelberg-N.Y., 1973; [10] Артин Э., Геометрическая алгебра, пер. С англ., М., 1969. А. В. Михалев, А. И. Немытое,
Теория — ж. греч. умозренье, умозаключенье; заключенье, вывод из чего-либо, не по явленью на деле, а по выводам своим; противоположное дело, на деле, опыт, практика. не всегда верна;........
Толковый словарь Даля
Теория — теории, ж. (греч. theoria - исследование). 1. учение, являющееся ражением действительности, обобщением практики, человеческого опыта. ..., если она является действительной теорией,........
Толковый словарь Ушакова
Теория Ж. — 1. Обобщение фактов, опыта, знаний, основывающееся на глубоком проникновении в сущность изучаемого явления, вскрывающее его закономерности. 2. Учение о какой-л. области........
Толковый словарь Ефремовой
Исторического Пессимизма Теория — - направление в футурологии международных отношений, которое, в противовес теории технократического оптимизма, исходит из перспективы долгого существования классического........
Политический словарь
Конвергенции Теория — (от лат. convergere - сближаться, сходиться) основана на идее преобладания тенденций объединения элементов в систему над процессами дифференциации, различения и индивидуализации.........
Политический словарь
Мобильности Теория — (от фр. mobile, лат. mobilis - подвижный, способный к быстрому действию) - система идей в социологии и политологии, в которой осмысливаются процессы изменения положения людей........
Политический словарь
Олигархизации Политических Партий Теория — - (от греч. oliarchia - власть немногих) - обоснование характерной тенденции в развитии партии: переход от организации демократического типа к жесткому бюрократическому аппарату........
Политический словарь
Политическая Система Индустриально Развитых Стран (теория) — Политическая система представляет собой совокупность лиц, институтов, участвующих в политическом процессе, неформальных и неправительственных факторов, влияющих........
Политический словарь
Политическая Теория — (POLITICAL THEORY) - массив научной мысли, нацеленной на оценку, объяснение и прогнозирование политических феноменов. Одновременно политическая теория представляет собой раздел........
Политический словарь
Постиндустриального Общества Теория — - широко применяется в западной политологии и социологии для обозначения современного общества. Концепция индустриального общества разрабатывалась в трудах Р.Дарендорфа........
Политический словарь
Теория — - интегрированная совокупность принципов, которые объясняют и предсказывают наблюдаемые явления. (Д. Майерс, с.50)
Политический словарь
Теория Конвергенции — (лат. convergere приближаться, сходиться) - одна из концепций политологии, социологии и политэкономии, усматривающая в общественном развитии современной эпохи преобладающую........
Политический словарь
Теория Нового Институционализма — - направление в американской политологии, возникшее в 1970-е гг. Классики неоинституционализма американские политологи Д.Марч и Д.Олсен в работе "Вновь открывая институты:........
Политический словарь
Теория Партисипаторной Демократии — - теоретики партисипаторной демократии (Дж.Вольф, Ф.Грин, Б.Барбер)остаются верными центральной идее классической теории демократии о способности простых людей управлять........
Политический словарь
Теория Плебисцитарной Демократии — - ее основателем считается М.Вебер. По его мнению, с развитием партий меняется характер политического представительства и политическая организация власти. Политическое........
Политический словарь
Теория Плюралистической Демократии — - концепция, согласно которой политический процесс предоставляет собой борьбу множества социальных, профессиональных, религиозных, местных, национальных или др. группировок,........
Политический словарь
Теория Рационального Выбора — - согласно ее основному положению, главным субъектом политического участия является свободный индивид, стремящийся к максимальной реализации своих интересов и эффективно........
Политический словарь
Теория Социально-когнитивного Научения — (SOCIAL COGNITIVE LEARNING THEORY). Направление персонологии, представленное Бандурой и Роттером, в котором подчеркивается, что поведение является результатом сложного взаимодействия........
Политический словарь
Теория Статусной Перестановки — - концепция, объясняющая политизацию социальных групп в условиях, когда их объективные социально- 285 экономические характеристики не снижаются, но происходит рост статуса........
Политический словарь
Теория Элитарной (элитистской) Демократии — - концепция, согласно которой власть при демократии осуществляется элитами. Отличие демократии от диктатуры состоит в наличии нескольких элит, конкурирующих друг с........
Политический словарь
Амортизационная Теория Страхового Фонда — См. Теория амортизационная страхового фонда
Экономический словарь
Арбитражная Теория Оценки — (arbitrage pricing theory) – теория равновесия на рынке капиталов, основанная на предположении об отсутствии арбитражных возможностей. В соответствии с арбитражной теорией оценки,........
Экономический словарь
Арбитражная Теория Ценообразования — Альтернативная модель определения стоимости основных фондов, разработанная Стивеном Россом и построенная исключительно на арбитражных аргументах.
Экономический словарь
Государственная Теория Денег — См.
Теория денег государственная
Экономический словарь
Густав Кассель: Экономическая Теория Как Чистая Теория Цен — Густаву Касселю (1866-1944) всемирную известность принесли его многочисленные произведения и общественная деятельность. Вначале Кассель изучал технические науки, в 1895........
Экономический словарь
Декларативная Теория Признания — - правовая
концепция, отрицающая, что
субъект международного
права возникает лишь в силу акта его признания другими государствами. Согласно этой концепции........
Экономический словарь
Кардиналистская Теория Полезности — (от англ. cardinal - количественный) - исходит из того, что любой
потребитель способен количественно измерить
уровень полезности всякого данного
товара и уровень........
Экономический словарь
Классическая Теория — - теория, объединяющая представителей экономической науки, развивавших экономические концепции, начало которым положили английские
экономисты А. Смит и Д, Рикардо.........
Экономический словарь
Количественная Теория Денег — теория денежного обращения, основанная на уравнении
обмена (уравнении Фишера), связывающем денежную массу в обращении,
скорость обращения денег, среднюю цену........
Экономический словарь
Мальтузианская Теория Народонаселения — MALTHUSIAN THEORY OF POPULATIONПреподобный Томас Мальтус в своем
труде `Опыт
закона о народонаселении` (1798г.) отстаивал точку зрения, что
численность населения при его........
Экономический словарь
Slovariki 2.0. Знание - сила