А Б В Г Д Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

Образовано приставочным способом от досужитъся – "находить время, досуг" от досуг.

Удосужиться — удосужусь, удосужишься, сов. (к удосуживаться) (разг.). Найти свободное время, досуг для чего-н. Не удосужится написать письма. Как-то удосужился всадить ему ползаряда........
Толковый словарь Ушакова

Удосужиться Сов. Разг. — 1. см. удосуживаться.
Толковый словарь Ефремовой

Удосужиться — -жусь, -жишься; св. с инф. (обычно с отриц.). Разг. Счесть необходимым или желательным сделать что-л., уделить чему-л. время. Кто-л. не удосужился прочитать письмо. Никак не........
Толковый словарь Кузнецова

УДОСУЖИТЬСЯ — УДОСУЖИТЬСЯ, -жусь, -ожишься; сов. || неопр. (разг.). Найти время для того, чтобы что-и, сделать. Не удосужился позвонить. || несов. удосуживаться,-аюсь,-аешься. 1
Толковый словарь Ожегова